直角三角形的性质-例题精讲与同步训练(含解答)-

-1-直角三角形的性质重难点重点：直角三角形的性质定理及其推论：①直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;②推论：（1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.难点：1.性质定理的证明方法.2.性质定理及其推论在解题中的应用.讲一讲例1：已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D为AB中点，DE⊥AC于E，∠A=30°，求BC，CD和DE的长分析：由30°的锐角所对的直角边为斜边的一半，BC可求，由直角三角形斜边中线的性质可求CD.在Rt△ADE中，有∠A=30°，则DE可求.解：在Rt△ABC中∵∠ACB=90∠A=30°∴ABBC21∵AB=8∴BC=4∵D为AB中点，CD为中线∴421ABCD∵DE⊥AC，∴∠AED=90°在Rt△ADE中，ADDE21，ABAD21∴241ABDE例2：已知：△ABC中，AB=AC=BC（△ABC为等边三角形）D为BC边上的中点，DE⊥AC于E.求证：ACCE41.分析：CE在Rt△DEC中，可知是CD的一半，又D为中点，故CD为BC上的一半，因此可证.证明：∵DE⊥AC于E，∴∠DEC=90°(垂直定义)∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC∠C=60°∵在Rt△EDC中，∠C=60°，∴∠EDC=90°-60°=30°∴CDEC21∵D为BC中点，-2-∴BCDC21∴ACDC21∴ACCE41.例3：已知：如图AD∥BC，且BD⊥CD，BD=CD，AC=BC.求证：AB=BO.分析：证AB=BD只需证明∠BAO=∠BOA由已知中等腰直角三角形的性质，可知BCDF21。由此，建立起AE与AC之间的关系，故可求题目中的角度，利用角度相等得证.证明：作DF⊥BC于F，AE⊥BC于E∵△BDC中，∠BDC=90°，BD=CD∴BCDF21∵BC=AC∴ACDF21∵DF=AE∴ACAE21∴∠ACB=30°∵∠CAB=∠ABC，∴∠CAB=∠ABC=75°∴∠OBA=30°∴∠AOB=75°∴∠BAO=∠BOA∴AB=BO练一练1.△ABC中，∠BAC=2∠B，AB=2AC，AE平分∠CAB。求证：AE=2CE。2.已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE为AB边上的中线，且∠BCD=3∠DCA。求证：DE=DC。3.如图：AB=AC，AD⊥BC于D，AF=FD，AE∥BC且交BF的延长线于E，若AD=9，BC=12，求BE的长。-3-4.在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边的中点，点F在AC边上，DE与CF平行且相等。求证：AE=DF。5.已知，如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于D，E为AC的中点，AB=6，求DE的长。参考答案1.取AB中点M，连接EM∵AE平分∠CAB∴CAB2121（角平分线意义）∵∠BAC=2∠B∴∠2=∠B∴AE=EB∴EM⊥AB∴∠EMA=90°∵AB=2ACAB=2AM∴AC=AM在△ACE与△AME中AEAEAMAC21∴△ACE≌△AME（SAS）∴∠EMA=∠C=90°在Rt△ACB中，∠1+∠2+∠B=90°∵∠1=∠2=∠B∴∠1=30°∴AECE21即AE=2CE。2.∵∠BCD=3∠DCA且∠BCA=90°∴∠DCA=22.5°∠BCD=67.5°∠B=22.5°-4-∴∠CEA=45°∠ECD=67.5°-22.5°=45°∴DE=DC3.∵AD=9∴295.4FDAF∵BC=12∴BD=CD=6∵∠BFD=∠EFAAF=FD∠FDB=∠FAE=90°∴△AFE≌△DFB（ASA）∴FE=FB在Rt△BFD中，2153648122DFBDBF∴BE=2BF=154.∵在Rt△ACB中，D为AB中点，∴ADABCD21且，∠2=∠3∵DE∥CF∴∠1=∠2∴∠1=∠3∴在△DEA与△DFC中CDADCFDE31∴△EDA≌△DFC（SAS）∴AE=DF5.∵AD⊥BC且AB=AC∴D为BC中点∵E为AC中点∴36212121ABACDE。