最大最小次序统计量的联合分布

[]20050525[]江苏省高校自然科学研究计划项目(05KJD110034)第22卷第5期大学数学Vol.22,.52006年10月COLLEGEMATHEMATICSOct.2006最大最小次序统计量的联合分布陈光曙(淮阴师范学院数学系,江苏淮安223300)[]X1,X2,,Xn是来自总体X的简单随机样本,Nk=min1!i!k{Xi},Mk=max1!i!k{Xi}(k=1,2,,n),本文给出了最小次序统计量与最大次序统计量的联合分布函数.[]样本;总体;分布函数;次序统计量[]O2111[]C[]16721454(2006)050134041设X1,X2,,Xn是来自总体X的简单随机样本,X具有分布函数F(x),X(1)!X(2)!!X(n)为其次序统计量.显然,X(1)=min{X1,X2,,Xn},X(n)=max{X1,X2,,Xn}.为方便起见,记Nk=min{X1,X2,,Xk},Mk=max{X1,X2,,Xk}(k=1,2,,n).易知Nn=X(1),Mn=X(n).次序统计量在数理统计上有着十分广泛的应用,许多文献均有较深刻的结果.如[1]等分别给出了最大(最小)次序统计量、第i个次序统计量的分布以及第i,j个次序统计量的联合分布.另外,最大次序统计量与最小次序统计量在可靠性理论、均匀分布的相关估计以及样本区间长度的估计等方面都有着十分重要的作用.本文主要讨论了次序统计量Mk与Mn,Nk与Nn,Nk与Mn以及Mk与Nn(k=1,2,,n)的联合分布,并给出了其结果的实际应用.2设X1,X2,,Xn是来自总体X的简单随机样本,X具有分布函数F(x),Nk=min{X1,X2,,Xk},Mk=max{X1,X2,,Xk}(k=1,2,,n),则我们给出下列定理:21设(Mk,Mn)的联合分布函数为F1(x,y)(k=1,2,,n),则F1(x,y)=[F(x)]k[F(y)]n-k,xy,[F(y)]n,x∀y.(21)x,y#ÈÈR,F1(x,y)=P(Mk!x,Mn!y)=P(X1!min{x,y},X2!min{x,y},,Xk!min{x,y},Xk+1!y,,Xn!y)=∃ki=1PXi!min{x,y}%∃ni=k+1P(Xk!y)=[F(min{x,y})]k%[F(y)]n-k=[F(x)]k[F(y)]n-k,xy,[F(y)]n,x∀y.22设(Nk,Nn)的联合分布函数为F2(x,y)(k=1,2,,n),则F2(x,y)=1-[1-F(x)]k,x!y,1-[1-F(x)]k-[1-F(y)]n+[1-F(x)]k[1-F(y)]n-k,xy.(22)x,y#ÈÈR,F2(x,y)=P(Nk!x,Nn!y)=1-P(Nkx)-P(Nny)+P(Nkx,Nny)=1-∃ki=1P(Xix)-∃ni=1P(Xiy)+P(X1max{x,y},,Xkmax{x,y},Xk+1y,Xny)=1-∃ki=1P(Xix)-∃ni=1P(Xiy)+∃ki=1P(Ximax{x,y})∃ni=k+1P(Xiy)=1-[1-F(x)]k-[1-F(y)]n+[1-F(max{x,y})]k[1-F(y)]n-k=1-[1-F(x)]k,x!y,1-[1-F(x)]k-[1-F(y)]n+[1-F(x)]k[1-F(y)]n-k,xy.23设(Nk,Mn)的联合分布函数为F3(x,y)(k=1,2,,n),则F3(x,y)=[F(y)]n-[F(y)-F(x)]k[F(y)]n-k,x!y,[F(y)]n,xy.(23)x,y#ÈÈR,F3(x,y)=P(Nk!x,Mn!y)=P(Mn!y)-P{Nkx,Mn!y).(24)当xy时,F3(x,y)=P(Mn!y)-P(Nkx,Mn!y)=[F(y)]n-P(xX1!y,,xXk!y,Xk+1!y,,Xn!y)=[F(y)]n-∃ki=1P(xXi!y)∃ni=k+1P(Xi!y)=[F(y)]n-[F(y)-F(x)]k[F(y)]n-k.由(24)知,当x∀y时,F3(x,y)=[F(y)]n,从而得(23).24设(Mk,Nn)的联合分布函数为F4(x,y)(k=1,2,,n),则F4(x,y)=[F(x)]k,x!y,[F(x)]k-[F(x)-F(y)]k[1-F(y)]n-k,xy.(25)x,y#ÈÈR,F4(x,y)=P(Mk!x,Nn!y)=P(Mk!x)-P{Mk!x,Nn!y).(26)当xy时,F4(x,y)=[F(x)]k-P(yX1!x,,yXk!x,Xk+1y,,Xny)=[F(x)]k-∃ki=1P(yXi!x)∃ni=k+1P(Xiy)=[F(x)]k-[F(x)-F(y)]k[1-F(y)]n-k.当x!y时,F4(x,y)=[F(x)]k.当k=n时,(Mn,Nn)的联合分布函数为F(x,y)=[F(x)]n,x!y,[F(x)]n-[F(x)-F(y)]n,xy.(27)135第5期陈光曙:最大最小次序统计量的联合分布注Nk,Mk是X1,X2,,Xk的最小值和最大值,也可以是X1,X2,,Xn中任意k个Xi1,Xi2,,Xik的最小值和最大值,由X1,X2,,Xn独立同分布知上述结论均成立.3利用上述结论可以解决一些实际问题.1设X1,X2,,Xn为来自总体X~U(0,1)的次序统计量,0X1X2Xn1,称随机区间[Xk,Xn]为第k个次序样本区间,其区间长度为Yk=Xn-Xk(k=1,2,,n-1).显然Yn-1Yn-2Y2Y1,则第k个次序样本区间长度Yk的数学期望E(Yk)=n-k(n+1)(k+1).(31)由于总体X~U(0,1),所以总体X的分布函数F(x)=x,0x1,1,x∀1,0,x!0.利用定理21中的结论,知(Xk,Xn)的联合分布函数为F(x,y)=xkyn-k,0xy1,yn,0y!x1,1,x1,y1,0,其他.(32)从而得(Xk,Xn)的联合概率密度为f(x,y)=kxk-1%(n-k)yn-k-1,0xy1,0,其他,(33)故E(Yk)=&10&y0(y-x)kxk-1(n-k)yn-k-1dxdy=&10(n-k)yn-kk+1(n-k)yndy=n-k(n+1)(k+1).2设总体X~U(a,b)(ab均为未知),X1,X2,,Xn是来自总体X的简单随机样本.在统计中,常取a的估计量^a=Nn=min1!i!n{Xi},b的估计量^b=Mn=max1!i!n{Xi},则(^b,^a)的联合密度函数为f(x,y)=n(n-1)(b-a)n(x-y)n-2,(x,y)#G,0,(x,y)!G.(34)由于X~U(a,b),所以X的分布函数为F(x)=0,x!a,x-ab-a,axb,1,x∀b.(35)利用(27)式,得(Mn,Nn)的联合密度函数为f(x,y)=∀2F(x,y)∀x∀y=n(n-1)[F(x)-F(y)]n-1f(x)f(y),xy,0,x!y,=n(n-1)(b-a)n(x-y)n-2,(x,y)#G,0,(x,y)!G,(36)其中G={(x,y)|axb,ayx}.136大学数学第22卷[][1]魏宗舒,等.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,1982.[2]潘高田,胡军峰.小样本的均匀分布参数的区间估计和假设检验[J].数学的实践与认识,2002,32(4):629-631.[3]颜贵兴.均匀分布参数的矩估计与最大似然估计[J].广西师院学报,2001,18(2):76-79.[4]张润楚,王兆君.均匀设计抽样及优良性质[J].应用概率统计,1996,12(4):337-347.JointDistributionofMaximumandMinimalOrderStatisticsCHENGuangshu(HuaiyinTeachers∋College,Huaian,Jiangsu223001,China)Abstract:AssumeX1,X2,,XnbesamplecomefromthepopulationX.LetNk=min1!i!k{Xi},Mk=max1!i!k{Xi}(k=1,2,,n)then,thesecanbemaximumandminimalorderstatisticsrespectively.Inthispaper,thejointdistributionfunctionsbetweenmaximumandminimalorderstatisticsareobtained.Keywords:sample;population;distributionfunction;orderstatistic137第5期陈光曙:最大最小次序统计量的联合分布