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第14讲二次函数考点知识精讲中考典例精析考点训练举一反三考点一二次函数的定义一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．1．结构特征：①等号左边是函数，右边是关于自变量x的____次式；②x的最高次数是2；③二次项系数a_____0.2．二次函数的三种基本形式(1)一般形式：；(2)顶点式：，它直接显示二次函数的顶点坐标是；(3)交点式：，其中x1、x2是图象与x轴交点的_______．二≠y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，且a≠0)y＝a(x－h)2＋k(a≠0)(h，k)y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)横坐标考点二二次函数的图象和性质函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)图象a＞0a＜0性质(1)当a＞0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸．(1)当a＜0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸．性质(2)对称轴是x＝－b2a，顶点坐标是(－b2a，4ac－b24a)．(3)在对称轴的左侧，即当x＜－b2a时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x＞－b2a时，y随x的增大而增大，简记“左减右增”．(4)抛物线有最低点，当x＝－b2a时，y有最小值，y最小值＝4ac－b24a.(2)对称轴是x＝－b2a，顶点坐标是(－b2a，4ac－b24a)．(3)在对称轴的左侧，即当x＜－b2a时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x＞－b2a时，y随x的增大而减小，简记“左增右减”．(4)抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，y最大值＝4ac－b24a.考点三二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系字母项目字母的符号图象的特征aa＞0开口向上a＜0开口向下bb＝0对称轴为y轴ab＞0(a与b同号)对称轴在y轴左侧ab＜0(a与b异号)对称轴在y轴右侧cc＝0经过原点c＞0与y轴正半轴相交c＜0与y轴负半轴相交注意：当x＝1时，y＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝a－b＋c.若a＋b＋c＞0，即x＝1时，y＞0.若a－b＋c＞0，即x＝－1时，y＞0.b2－4acb2－4ac＝0与x轴有唯一交点(顶点)b2－4ac＞0与x轴有两个交点b2－4ac＜0与x轴没有交点考点四二次函数图象的平移任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下：温馨提示：二次函数图象间的平移，可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数图象间的平移.考点五二次函数解析式的求法1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)若已知条件是图象上三个点的坐标．则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a、b、c的值．2．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般式．3．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶点式:y＝a(x-h)2+k(a≠0),将已知条件代入，求出待定系数化为一般式.考点六二次函数的应用二次函数的应用包括两个方面：(1)用二次函数表示实际问题变量之间关系．(2)用二次函数解决最大化问题(即最值问题)，用二次函数的性质求解，同时注意自变量的取值范围．(1)(2011·北京)抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为()A．(3，－4)B．(3,4)C．(－3，－4)D．(－3,4)(2)(2011·莆田)抛物线y＝－6x2可以看作是由抛物线y＝－6x2＋5按下列何种变换得到()A．向上平移5个单位B．向下平移5个单位C．向左平移5个单位D．向右平移5个单位(3)(2011·呼和浩特)已知一元二次方程x2＋bx－3＝0的一根为－3，在二次函数y＝x2＋bx－3的图象上有三点(－45，y1)、(－54，y2)、(16，y3)，y1、y2、y3的大小关系是()A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2(4)(2010·天津)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b2－4ac0；②abc0；③8a＋c0；④9a＋3b＋c0.其中，正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4【点拨】本组题主要考查二次函数的图象和性质．【解答】(1)A∵y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，∴抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为(3，－4)．(2)B把抛物线y＝－6x2＋5向下平移5个单位得抛物线y＝－6x2.(3)A将x＝－3代入x2＋bx－3＝0得b＝2，将x＝－45，－54，16分别代入y＝x2＋2x－3得y1＝－9925，y2＝－6316，y3＝－9536，∴y1＜y2＜y3.(4)D由图象知，抛物线与x轴有两个交点，则b2－4ac0，故①正确；与y轴交于负半轴，则c0.开口向上，则a0.对称轴x＝－b2a＝1，b＝－2a0，则abc0，故②正确；当x＝－2时，y0，此时y＝4a－2b＋c＝4a－2(－2a)＋c＝8a＋c0，故③正确；x＝1是抛物线的对称轴，由图象知抛物线与x轴的正半轴的交点在3与4之间，则当x＝3时，y0，即y＝9a＋3b＋c0，④正确，即正确结论有4个．(2011·沈阳)一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年每件的成本增加0.7x倍,今年这种玩具每件的出厂价比去年每件的出厂价相应提高0.5x倍,则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0＜x≤1)．(1)用含x的代数式表示:今年生产的这种玩具每件的成本为______元,今年生产的这种玩具每件的出厂价为______元．(2)求今年这种玩具每件的利润y(元)与x之间的函数关系式．(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是多少万元？注:年销售利润=(每件玩具的出厂价—每件玩具的成本)×年销售量．【点拨】本题考查二次函数的应用，解决此类问题时，要审清题意，搞清未知量之间的关系是关键．【解答】(1)(10＋7x)(12＋6x)(2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x.(3)∵w＝2(1＋x)(2－x)＝－2(x－0.5)2＋4.5，又∵－2＜0,0＜x≤1，∴w有最大值，∴当x＝0.5时，w最大值＝4.5(万元)．答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．1．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值是()A．2B．1C．－1D．－2答案：A2．抛物线y＝－(x＋2)2－3的顶点坐标是()A．(2，－3)B．(－2,3)C．(2,3)D．(－2，－3)答案：D3．抛物线y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)的对称轴是直线()A．x＝1B．x＝－1C．x＝－3D．x＝3答案：A4．二次函数y=-2x2+4x＋1的图象如何平移就得到y=-2x2的图象()A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位答案：C5．把二次函数y=-14x2-x+3用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式()A．y＝－14(x－2)2＋2B．y＝14(x－2)2＋4C．y＝－14(x＋2)2＋4D．y＝(12x－12)2＋3答案：C6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列关系式不正确的是()A．a＜0B．abc＞0C．a＋b＋c＞0D．b2－4ac＞0答案：C答案：B8．星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．(1)若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围．7．若A(－134，y1)、B(－54，y2)、C(14，y3)为二次函数y＝x2＋4x－5的图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是()A．y1y2y3B．y2y1y3C．y3y1y2D．y1y3y2(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？并求出这个最大值．(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．答案：(1)y＝30－2x(6≤x＜15)(2)当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃面积最大，最大值为112.5平方米(3)6≤x≤11二次函数训练时间：60分钟分值：100分一、选择题(每小题3分，共36分)1．(2011·哈尔滨)在抛物线y＝－x2＋1上的一个点是()A．(1,0)B．(0,0)C．(0，－1)D．(1,1)【解析】将(1,0)，(0,0)，(0，－1)，(1,1)代入y＝－x2＋1，只有(1,0)适合关系式，所以选A.【答案】A2．(2011·兰州)抛物线y＝x2－2x＋1的顶点坐标是()A．(1,0)B．(－1,0)C．(－2,1)D．(2，－1)【解析】∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2，∴顶点坐标为(1,0)．【答案】A3．(2011·深圳)对抛物线y＝－x2＋2x－3而言，下列结论正确的是()A．与x轴有两个交点B．开口向上C．与y轴的交点坐标是(0,3)D．顶点坐标是(1，－2)【解析】∵y＝－x2＋2x－3＝－(x2－2x＋3)＝－(x－1)2－2，∴抛物线顶点坐标为(1，－2)．【答案】D4．(2010中考变式题)抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y＝x2－2x－3，则b、c的值为()A．b＝2，c＝2B．b＝2，c＝0C．b＝－2，c＝－1D．b＝－3，c＝2【解析】抛物线y＝x2－2x－3的顶点坐标是(1，－4)，把顶点向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的坐标为(－1，－1)，所得图象的解析式为y＝(x＋1)2－1＝x2＋2x，∴b＝2，c＝0.【答案】B5．(2012中考预测题)如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2，点A、B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0,3)，则点B的坐标为()A．(2,3)B．(3,2)C．(3,3)D．(4,3)【解析】∵AB平行于x轴，所以A、B两点的纵坐标相同，B点的纵坐标是3，∵对称轴为x＝2，A、B两点关于对称轴对称，所以AB＝4，所以B点的坐标为(4,3)．【答案】DA．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2【解析】将A、B、C三点横坐标分别代入y＝x2－6x＋c得y1＝7＋c，y2＝－8＋c，y3＝－7＋c，∴y1＞y3＞y2.【答案】B6．(2011·陕西)若二次函数y＝x2－6x＋c的图象经过A(－1，y1)、B(2，y2)、C(3＋2，y3)三点，则关于y1、y2、y3大小关系正确的是()7．(2011·桂林)在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋2x＋3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是()A．y＝－(x＋1)2＋2B．y＝－(x－1)2＋4C．y＝－(x－1)2＋2D．y＝－(x＋1)2＋4【解析】∵y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∴抛物线的顶点坐标为(－1,2)．又当x＝0时，y＝3，∴抛物线与y轴的交点为(0,3)．点(－1,2)关于点(0,3)的对称点是(1,4)，即抛物线y＝x2＋2x＋3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的顶点坐标是(1,4)且开口向下，∴旋转后的抛物线的解析式是y＝－(x－1)2＋4.【答案】B8．(2010中考变式题)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是(