种群相互依存模型

种群的相互依存摘要：甲乙两种群的相互依存有三种形式：1)甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。2)甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。3)甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。本文分别对这三种相互依存的关系进行分析，从种群的增长规律出发，对Logistic模型进行修改，建立两种群相互依存的模型。并通过微分方程组描述了两种群数量的变化规律，且对微分方程组稳定点的分析,分别得出了两种群相互依存的条件。关键词：Logistic模型微分方程组稳定点鞍点平衡点自治方程第一种情况的分析：（1.）模型假设1.以)(1tx、)(2tx表示甲、乙二种群在时刻t的数量，1r表示甲种群的固有增长率,)2,1(iNi分别表示甲、乙二种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量2.甲独自生存时，数量变化服从Logistic规律;甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。3.乙种群没有甲的存在会灭亡,死亡率为2r,甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用(服从Logistic规律)。4.乙为甲提供食物是甲消耗的1倍,甲为乙提供食物是乙消耗的2倍(2.)模型建立:经过分析得到以下方程:)1()()1()(2211212222111211NxNxxrtxNxNxxrtx………………(1)上式刻画了区域所考查的两种群的发展规律，即为依存模型.(3)模型求解:欲求此问题的相互依存的条件我们先来介绍以下的知识内容：微分方程理论性简介：此问题为动态过程，且建此模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势——平衡状态是否稳定。为了分析这种稳定与不稳定我们常常不是通过求解微分方程，而是通过用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。a.一阶微分方程的平衡点及其稳定性:设一阶微分方程为)()(xftx（1）,方程右端不显含自变量t,称为一阶非线性（自治）方程。0)(xf的实根0xx为微分方程（1）的平衡点.同时也是方程（1）的解（奇解）。判断平衡点是否稳定的方法：间接法：若从0x某邻域的任一初值出发，都有0)(limxtxitt，称0x是方程(1)的稳定平衡点。直接法：(1)的近似线性方程))(()(00xxxftx（2），0)(0xf，则0x对于方程（1）和（2）都是稳定的；0)(0xf，则0x对于方程（1）和（2）都是不稳定的；b.二阶微分方程的平衡点及其稳定性:二阶方程可用两个一阶方程表示为：),()(),()(212211xxgtxxxftx（3）右端不显含自变量t是自治方程。代数方程组：0),(0),(2121xxgxxf（4）的实根022011,xxxx为微分方程（3）的平衡点.记作),(02010xxP判断平衡点是否稳定的方法：间接法：若存在某个邻域的任一初值出发，都有022011)(lim,)(limxtxitxtxittt，称),(02010xxP是方程(1)的稳定平衡点。直接法：(3)的近似线性方程：))(,())(,()())(,())(,()(0220201201102011202202012011020111xxxxxgxxxxxgtxxxxxxfxxxxxftx（5）1212xxxxffAgg(5)12001212(,)ffxxxxggxx，12|ixxPPfg，det()|iPqA，特征方程0)det(IA，特征根2422,1qPP，00qp且，平衡点稳定平衡点0p；00qp或，平衡点不稳定平衡点0p。根据以上的分析，以下为求解该模型的平衡点过的程：令:)1(),()1(),(221121221221112121NxNxxrxxgNxNxxrxxf…………………………（2）（从上式可以看出只有当2足够大方可使乙存活）令:1212112,1xxxxNN…………………………（3）21112211),(NxNxxx方程（1）的右边不显含自变量t,我们将其称为自治方程。为此：令：1212,0,0fxxgxx解为：11,0PN，),0,0(3P)1)1(,1)1((212221112NNp此为（1）的三个平衡点(或奇点)。记1212xxxxffAgg(2)(3)12111111112222122222212122xxxrrrrNNNxxxrrrrNNN记12|ixxPpfgdet()|iPqA（1,2,3i）2142Ppq在iP处的值列表如下表1种群依存模型的平衡点及稳定性平衡点pq稳定条件11,0PN)1(221rr)1(222rr1,1212)1)1(,1)1((212221112NNp1122121(1)1rr121212(1)11rr1,1,11212),0,0(3P21rr21rr不稳定(4.)结果分析：a.显然，P2是甲乙相互依存而共生的平衡点，下面我们着重分析p2稳定的条件。由p2的表达式容易看出，要使平衡点p2有实际意义，即位于相平面第一象限，必须满足下面两个条件中的一个：1,1,1:1,1,1:2121221211AA由上面的分析知：仅在条A1件下p2才是稳定的，而在A2条件下p2是不稳，而是鞍点。以下画出在条件A1下平衡点P2稳定性的相轨线图：直线12,0xx和0),(21xx将相平面划分成4个区域：1S：.1x＞0，.2x＜0；2S：.1x＞0，.2x＞0；3S：.1x＜0，.2x＞0；4S：.1x＜0，.2x＜0。从四个区域中21,xx的正负不难看出其相轨线的趋势如下图所示：2的含义：21表示甲必须为乙提供足够的食物——甲为乙提供的食物是乙消耗2倍；121表示21前提下P2存在的必要条件；11，21,121的需要，且1必须足够小，才能在21条件下使121成立。以下画出在条件A2下平衡点P2的相轨线图：从上的相轨线图可以看出在A2情况下平衡点P2不稳定，相互提供食物可能使二者均趋于无穷。b.以下是平衡点p1的相轨线图：1x2x021/N1N1S2S3S004SP211,121211x2x021/N1N1S2S3S004SP211,12121图1所示情况下，p1（N1,0）稳定，即能够独立生存的种群趋向最大容量，而不能独立生存的种群乙终将灭绝。图2无稳定平衡点，相互提供食物可能使二者均趋于无穷（5.）计算与验证：（仅针对平衡点p2进行数值求解）设1,6.1,5.1,8.1,3,1.0212121NNrr，初始值分别取：2)0(,1)0(1.0)0(,1.0)0(2121xxxx。先建立M文件：functionxdot=zhier(t,x)r(1)=1.8;r(2)=1.5;a=0.1;b=3;;N(1)=1.6;N(2)=1;xdot=[r(1).*x(1).*(1-x(1)/N(1)+a.*x(2)/N(2));r(2).*x(2).*(-1+b.*x(1)/N(1)-x(2)/N(2))];。求解命令：ts=0:0.1:8;x0=[0.1;0.1];[t,x]=ode45('zhier',ts,x0);[t,x],plot(t,x),grid,gtext('x1(t)'),gtext('x2(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2)),gridx0=[1;2];plot(t,x),grid,gtext('x1(t)'),gtext('x2(t)'),pause,从上图可以看出在平衡点p2的条件下t的时候，两种群的最大容量均增大，且相互依存，着与前面的分析是一致的。第二种情况的分析：（1.）模型假设：与第一种情况的假设一样，只需要将2r修改为固有增长率即可。(2.)模型建立:有甲乙两个种群，当它们独自在一个自然环境中生存时，数量的演变均遵从Logistic规律。由因为两种群均可独立生存，共处时又能相互提供食物。故种群甲乙的数量演变规律可以写作：'12111112'2122222111xxxtrxNNxxxtrxNN……………………(1)则（1）刻画了该区域所考查两种群的发展规律，即为依存模型。(3)模型求解:令：121211112,1xxfxxrxNN（2）211222221,1xxgxxrxNN（3）令：1212112,1xxxxNN（4）2112221,1xxxxNN再令：1212,0,0fxxgxx解为：11,0PN220,PN11223121211,11NNP40,0P此为（1）的四个平衡点。（1,20x）记1212xxxxffAgg(2)(3)12111111112222122222212122xxxrrrrNNNxxxrrrrNNN记12|ixxPpfgdet()|iPqA（1,2,3,4i）2142Ppq在iP处的值列表如下:表1独立种群相互依存模型的平衡点和稳定性iPpq稳定条件)0,(11Np122(1)rr212(1)rr不稳定),0(22Np211(1)rr211(1)rr不稳定)1)1(,1)1((212221113NNp112212(1)(1)1rr121212(1)(1)1rr121)0,0(4p12rr12rr不稳定（4.）结果分析：以（4）式作图，并在1,20r，1,20x的背景下讨论。由P3点的表达式容易看出，要使平衡点P3有实际意义，即位于相平面第一象限（1,20x），必须满足下面两个条件中的一个：1A：1＜1，2＞1，12＜12A：1＞1，2＜1，12＜1由表1可知，仅在条件1A下3P才是稳定的。直线0和0将相平面（1,20x）划分成4个区域：1S：.1x＞0，.2x＜0；2S：.1x＞0，.2x＞0；3S：.1x＜0，.2x＞0；4S：.1x＜0，.2x＜0。图1画出了条件1A下相轨线的示意图。图13P稳定的相轨线图1＜1，2＞1即乙提供给甲的食物量大于甲消耗的供养甲的食物量，而甲提供给乙的食物量却小于乙消耗的供养乙的食物量。在121时，平衡点11223121211,11NNP是稳定的。此时甲、乙两种群将分别趋向于非零的有限值，否则由于二者均能独立生存又相互提供食物，将使二者均趋向无穷。因此，在共处的条件下，两种群不会同时都对对方有很大的促进作用。图2画出了条件2A下相轨线的示意图:1x2x01N1S2S3S004SP32N11,12121从上的相轨线图可以看出在A2情况下平衡点P2不稳定，相互提供食物可能使二者均趋于无穷。（5.）计算与验证：（仅针对平衡点p3进行数值求解）设1,6.1,5.1,8.1,6.1,1.0212121NNrr，初始值分别取：2)0(,1)0(1.0)0(,1.0)0(2121xxxx。先建立M文件：fu