lebesgue测度

3212010015刘正1Lebesgue测度【摘要】本文首先介绍了Lebesgue个人经历和在测度方面的研究，之后介绍了Lebesgue可测集的一些性质，最后介绍了本文对Lebesgue测度的理解并尝试给出了一种对不可测集合举例的正面证明方法。【关键词】测度caratheodory导入法不可测集合正面证明1.Lebesgue其人以及Lebesgue引入Lebesgue测度的动机1．1Lebesgue的成长道路亨利·勒贝格（HenriLéonLebesgue)，1875年6月28日生于法国的博韦；1941年7月26日卒于巴黎。数学家。勒贝格的父亲是一名印刷厂职工，酷爱读书，很有教养．在父亲的影响下，勒贝格从小勤奋好学，成绩优秀，特别擅长计算．不幸，父亲去世过早，家境衰落．在学校老师的帮助下进入中学，后又转学巴黎．1894年考入高等师范学校．1897年大学毕业后，勒贝格在该校图书馆工作了两年．在这期间，出版了E．波莱尔(Borel)关于点集测度的新方法的《函数论讲义》(Leconssurlathéoriedesfunctions1898)，特别是研究生R．贝尔(Baire)发表了关于不连续实变函数理论的第一篇论文．这些成功的研究工作说明在这些崭新的领域中进行开拓将会获得何等重要的成就，从而激发了勒贝格的热情．从1899年到1902年勒贝格在南锡的一所中学任教，虽然工作繁忙，但仍孜孜不倦地研究实变函数理论，并于1902年发表了博士论文“积分、长度、面积”(Intégrale，longueur，aire)．在这篇文章中，勒贝格创立了后来以他的名字命名的积分理论．此后，他开始在大学任教(1902—1906在雷恩；1906—1910在普瓦蒂埃)，在此期间，他进一步出版了一些重要著作：《积分法和原函数分析的讲义》(Leconssurl‘intégrationetlarecherchedesfonctionsprimitives，1904)；《三角级数讲义》(Leconssurlessériestrigonométriques，1906)．接着，勒贝格又于1910—1919年在巴黎(韶邦)大学担任讲师，1920年转聘为教授，这时他又陆续发表了许多关于函数的微分、积分理论的研究成果．勒贝格于1921年获得法兰西学院教授称号，翌年作为C．若尔当(Jordan)的后继人被选为巴3212010015刘正2黎科学院院士。1．2引入Lebesgue测度的目的19世纪以来，微积分开始进入严密化的阶段。1854年B．黎曼(Riemann)引入了以他的名字命名的积分，这一理论的应用范围主要是连续的函数。随着K．魏尔斯特拉斯(Weier-strass)和G．康托尔(Cantor)工作的问世，在数学中出现了许多“奇怪”的函数与现象，致使黎曼积分理论暴露出较大的局限性。几乎与这一理论发展的同时(1870—1880年)，人们就巳经开展了对积分理论的改造工作。当时，关于积分论的工作主要集中于无穷集合性质的探讨，而无处稠密的集合具有正的外“容度”性质的发现，使集合的测度概念在积分论的研究中占有重要地位。积分的几何意义是曲线围成的面积，黎曼积分的定义是建立在对区间长度的分割的基础上的。因此，人们自然会考虑到如何把长度、面积等概念扩充到更广泛的集合类上，从而把积分概念置于集合测度理论的框架之中。这一思想的重要性在于使人们认识到：集合的测度与可测性的推广将意味着函数的积分与可积性的推广。至此，Lebesgue引入了Lebesgue测度。实变函数论的核心内容是建立一种较Riemann积分而言，适用范围更广、使用操作更为简便的新的积分理论——Lebesgue积分，但是介绍Lebesgue积分却不能象介绍Riemann积分那样，一开始就定义什么是Lebesgue积分，而是需要先引入测度和可测函数概念，并且要用足够的篇幅对它们进行讨论后才能开始定义Lebesgue积分。Riemann积分具有明显的直观性，它的几何意义是[a，b]上的非负连续函数与轴所成平面曲边梯形的面积，因此，Riemann积分的定义以及一个函数的可积性，是与相应的平面图形面积如何确定以及面积是否存在密切相关的。于是，如果要建立能够适用于更大函数类的新的积分理论，首先需要把原有的面积概念加以推广，以使得更多的点集能具有类似于面积性质的度量。如果我们把一般空间中的点集E的度量结果，称为E的测度，记作m(E)，那么实际上就定义了一种特殊的函数：自变量为点集E，函数值为测度m(E)。这样的函数称为集函数，不同的测度理论实际上就是针对点集定义的不同性质的集函数，换而言之，对点集采用不同的度量工具导致了不同的测度理论。历史上先后出现过多种测度理论。最早是19世纪80年代，G．Peano提出点集的内、外测度的概念，接着1892年C．Jordan建立起Jordan可测集理论(其测度也称为容度)，E．Borel在1898年的著作中引进了Borel集的概念，1910年Legesgue研究了其中的测度，决定性地推进了测度理论的发展，也就是通常所说的Lebesgue测度。3212010015刘正3之后，在勒贝格测度理论的基础上还建立了勒贝格积分，它是黎曼积分的扩充。勒贝格对数学的主要贡献属于积分论领域，这是实变函数理论的中心课题。2.Lebesgue可测集的性质2．1可测集的定义若对于任意的T属于Rn，有*()()cmTmTEmTE（Caratheodory条件），则称E为Lebesgue可测集，此时E的外测度称为E的测度，记作mE。注：Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集，但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法。2．2Lebesgue可测集的性质2.2.1设A是直线上的集合。如果对于任意的正数ε0，存在闭集F和开集G满足：F⊂A⊂G和m(G\F)ε，就称集合A是Lebesgue可测集，简称可测集。2.2.2如果集合A是可测集，那么对于任意的ε0，都存在闭集F⊂A满足：m∗(F)m∗(A)−ε事实上，由可测集的定义，存在闭集F和开集O满足：m∗(O\F)ε。那么，m∗(F)+m∗(O\F)≥m∗(O)≥m∗(A)，由此就得到所要的不等式。2.2.3设A是直线上的集合。如果m∗(A)=0，则称A是零测集。从可测集的定义，我们容易得到可测集的性质2.2.4引理1．如果A是可测集，那么A的余集Ac=R\A也是可测集2．有限个可测集的并集是可测集；有限个可测集的交集是可测集3．两个可测集的差集是可测集4．零测集是可测集；零测集的子集是可测集5．任何区间都是可测集证明：1)：因为A是可测集，对于任意的ε0，存在闭集F和开集G满足：F⊂A⊂G，且m(G\F)ε。于是Fc⊃Ac⊃Gc，集合Gc是闭集，Fc是开集，并且m(Fc\Gc)=m(G\F)ε，所以Ac是可测集；2)：我们只要证明两个集合的情况。假设A1,A2是直线上的两个可测集，记A=A1∪A2。由定义，对于任意的ε0，分别存在开集O1,O2和闭集F1,F2满足：Fi⊂Ai⊂Oi(i=1,2)，并且：m∗(Oi\Fi)ε/2。令F=F1∪F2,O=O1∪O2，那么：F是闭集，O是开3212010015刘正4集，满足：F⊂A⊂O。由于O\F⊂(O1\F1)∪(O2\F2)由外测度的次可加性，我们得到：m∗(O\F)ε。利用demorgan公式，我们就得到：可测集的交集是可测集；3)：由A\B=A∩Bc得到；4)：如果集合A是零测集，对于任意的ε0，存在开集O使得：A⊂O,m∗(O)ε。取闭集F=∅，就得到A是可测集；5)：课本上给出了详细的证明，本文不再加以论证。2.2.5开集是可测集，闭集也是可测集。证明：假设O是一个开集，并且包含在一个有限的开区间(c,d)中。如果O=∪i(ai,bi)是O的构成区间分解，那么我们有：Σi(bi−ai)≤d−c∞因此对于任意的ε0，存在自然数N使得：∞Σi=N+1(bi−ai)ε。对于每个(ai,bi)(i=1,2,…,N)，我们取闭区间Fi=[ai+ε/2i,bi–ε/2i]，令F=N∪i=1Fi，F是闭集且：m∗(O\F)≤m∗(∞∪i=N+1Oi)+m∗(N∪i=1Oi\F)≤∞Σi=N+1(bi−ai)+ΣNi=1m∗(Oi\Fi)3ε对于一般的开集O=∪i(ai,bi)，我们可以在直线R上找到一列点{cn}(n∈Z)，使得：cn+1−cn≥1，并且将开集O分解成一列互不相交的On⊂(cn,cn+1)。例如，我们取c0=a1，考虑集合I1={i:(ai,bi)∩(c0,c0+1)=∅}，显然1∈I1，令d0=sup{bi,i∈I1}，那么∪i∈I1(ai,bi)⊂(c0,d0)。如果不存在ai≥d0，那么我们就取c1=max{d0,c0+1}。否则，令I={i,ai≥d0},c1=inf{ai,i∈I}，则c1≥c0+1。利用上面同样的方法考虑区间(c1,c1+1)，这样继续下去我们就得到所要的{cn}。如果O的构成区间中含有无界的区间(a,∞)或者(−∞,b)，我们就把它们单独取出来，余下的每个On都是包含在一个有界的开区间中，因此存在闭集Fn⊂On满足：m(On\Fn)ε2|n|+2。这时F=∪nFn是闭集，并且：m(O\F)≤m(∪n(On\Fn))≤Σnε2|n|+2ε。2.2.6如果F1和F2是直线上的两个互不相交的有界闭集，则m∗(F1∪F2)=m∗(F1)+m∗(F2)证明：由于F1和F2两个互不相交的有界闭集，则存在一个正数δ，对于任何长度小于或者等于δ的开区间至多只能与一个Fi相交。假若不然，那么对于任何自然数n都存在一个开区间(an,bn),bn−an1n，并且：(an,bn)∩Fi=∅，于是存在xn∈F1,yn∈F2，同时xn,yn∈(an,bn)。由于{xn}和{yn}分别是有界闭集F1和F2中的点列，它们存在收敛子列{xnk}和{ynk},假设：limk→∞xnk=x0∈F1,limk→∞ynk=y0∈F2，但是：|xnk−ynk|≤bnk−ank1nk→0，所以得到：x0=y0∈F1∩F2，矛盾。因为：m∗(F1∪F2)≤m∗(F1)+m∗(F2)，我们只要证明另外一个不等号就可以了。对于任意的ε0，存3212010015刘正5在一个有界开集G⊃F1∪F2，满足：m∗(F1∪F2)m(G)−ε。将G分解成它的构成区间G=∪i∈I(ai,bi)，如果bi−aiδ2，我们将它分解成有限个开区间的并，(ai,bi)=∪j(aji,bji)，使得：bji−ajiδ/2。由于区间Iji至多只能与一个Fi相交，将与F1相交的区间的并记为G1，与F2相交的区间的并记为G2，则有：F1⊂G1,F2⊂G2，并且：G1∪G2⊂G,G1∩G2=∅。所以，m∗(F1)+m∗(F2)≤m(G1)+m(G2)=m(G1∪G2)≤m(G)≤m∗(F1∪F2)+2ε令ε→0，就得到：m∗(F1)+m∗(F2)≤m∗(F1∪F2)。2.2.7如果F1,F2,…,Fn是直线上互不相交的有界闭集，则：m∗(∪ni=1Fi)=Σni=1m∗(Fi)2.2.8设F是闭集。如果它包含在有界开集G中，则：m(G\F)=m(G)−m∗(F)证明：对于开集G\F，对于任意的ε0，存在闭集F1⊂G\F，使得m∗(F1)m(G\F)−ε而F1和F是两个互不相交的有界闭集，由引理2。2。6得到：m∗(F1∪F)=m∗(F1)+m∗(F)(≤m(G))所以，m∗(F)+m(G\F)m∗(F)+m∗(F1)+ε=m∗(F∪F1)+ε≤m(G)+ε令ε→0，得到：m∗(F)+m(G\F)≤m(G)2.2.9设A是直线上的有界集。如果对于任意的ε0，存在一个闭集F⊂A，使得m∗(F)m∗(A)−ε，那么A是可测集。证明：由于A是有界集，所以存在有界开集G,G⊃A，并且：m∗(A)m(G)–ε/2。由假定，存在闭集F⊂A满足：m∗(F)m∗(A)−ε/2，所以：m∗(F