解绝对值不等式的几种常用方法以及变形

1/5解绝对值不等式的几种常用方法以及变形一.前提:0a;形式:()fxa;()fxa;(),()fxafxa等价转化为()()()fxafxafxa或;()()fxaafxa()()()fxafxafxa或;()()fxaafxa例1.(1)|2x－3|＜5解：－5＜2x－3＜5，得－1＜x＜4-------------------------转化为一元一次不等式(2)|x2－3x－1|＞3解：x2－3x－1＜－3或x2－3x－1＞3---------------------转化为一元二次不等式即：x2－3x＋2＜0或x2－3x－4＞0∴不等式的解为1＜x＜2或x＜－1或x＞4(3)2x3x2－＋＞1解：2x3x2－＋＜－1或2x3x2－＋＞1--------------------绝对值不等式转化为分式不等式解之得：－2＜x＜13或x＜－2或x＞5∴不等式的解为x＜－2或－2＜x＜13或x＞5反思：(1)转化的目的在于去掉绝对值。(2)规范解答，可以避免少犯错误。二.形如|()fx|()gx，|()fx|()gx,()()fxgx型不等式（1）︱f(x)︱g(x)-g(x)f(x)g(x)（2）︱f(x)︱g(x)f(x)-g(x)或f(x)g(x)（3）︱f(x)︱︱g(x)︱f2(x)g2(x);（4）︱f(x)︱︱g(x)︱f2(x)＜g2(x)例2.(1)|x+1|2－x；2/5解：(1)原不等式等价于x+12－x或x+1－(2－x)---------------利用绝对值概念转化为整式不等式解得x12或无解，所以原不等式的解集是{x|x12}(2)|2x－2x－6|3x解:原不等式等价于－3x2x－2x－63x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560xxxxxxxxxxxxxxxxx或即:2x6所以原不等式的解集是{x|2x6}(3)解不等式123xx。解:原不等式22(1)(23)xx22(23)(1)0xx(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)0(3x-4)(x-2)0423x。说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。三.前提:,0ab形如:()afxbxaxb----------------转化为不等式组来解决例3.解不等式1|2x-1|5奎屯王新敞新疆解：原不等式等价于1|12|5|12|xx5215211211xxx或2310xxx或∴原不等式的解集为{x|-2x0或1x3}四.含有两个绝对值的不等式---------------(常常采用零点分段法来讨论)例4:解不等式：|x-3|-|x+1|1奎屯王新敞新疆3/5解:原不等式等价于①11(3)(1)141xxxx无解②13131(3)(1)12xxxxx132x③33(3)(1)141xxxx3x综上原不等式的解集为}21|{xx练习．不等式|x+3|-|2x-1|2x+1的解集为五.含有参数的不等式例5奎屯王新敞新疆(1)解关于x的不等式①)(Raax,②)(Raax解：∵Ra，分类讨论如下①Ⅰ奎屯王新敞新疆,0时，解集为当aⅡ},|{0axaxa时，解集为当②Ⅰ奎屯王新敞新疆,0Ra时，解集为当Ⅱ},0|{0xxa时，解集为当Ⅲ},|{0axaxxa或时，解集为当(2)奎屯王新敞新疆解关于x的不等式)(132Raax奎屯王新敞新疆解:原不等式化为：132ax,在求解时由于a+1的正负不确定，需分情况讨论奎屯王新敞新疆①当a+10即a-1时，由于任何实数的绝对值非负，∴解集为奎屯王新敞新疆②当a+10即a-1时，-(a+1)2x+3a+1=24ax22a奎屯王新敞新疆综上得：①；时，解集为1a4/5②}2224|{1axaxa时，解集为六:含有绝对值不等式有解.解集为空,与与恒成立问题例6:若不等式|x－4|+|3－x|a的解集为空集，求a的取值范围。［解题］解法一(1)当a≤0时，不等式的解集是空集。(2)当a0时，先求不等式|x－4|+|3－x|a有解时a的取值范围。令x－4=0得x=4，令3－x=0得x=3①当x≥4时，原不等式化为x－4+x－3a，即2x－7a解不等式组474272xaxxa，∴a1②当3x4时，原不等式化为4－x+x－3a得a1③当x≤3时，原不等式化为4－x+3－xa即7－2xa解不等式377337222xaaxxa，∴a1综合①②③可知，当a1时，原不等式有解，从而当0a≤1时，原不等式解集为空集。由(1)(2)知所求a取值范围是a≤1方法二∵a|x－4|+|3－x|≥|x－4+3－x|=1∴当a1时，|x－4|+|3－x|a有解从而当a≤1时，原不等式解集为空集。总结(1):fxa有解minafx；fxa解集为空集minafx；这两者互补。fxa恒成立maxafx。(2)fxa有解maxafx；fxa解集为空集maxafx；这两者互补。5/5fxa恒成立minafx