高数重要定理(高数上下)

洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则(1)(1)(1)(1)当当当当xaxaxaxa→→→→((((或或或或xxxx→∞→∞→∞→∞))))时时时时,,,,()()()()fxfxfxfx及及及及()()()()FxFxFxFx都趋都趋都趋都趋于零（或无穷大于零（或无穷大于零（或无穷大于零（或无穷大））））；；；；(2)(2)(2)(2)在点在点在点在点aaaa的某去心邻域的某去心邻域的某去心邻域的某去心邻域((((或或或或||0||0||0||0xMxMxMxM))))内内内内,,,,()()()()fxfxfxfx′′′′及及及及()()()()FxFxFxFx′′′′都存在且都存在且都存在且都存在且()0()0()0()0FxFxFxFx′′′′≠≠≠≠；；；；(3)(3)(3)(3)()()()()()()()()limlimlimlim()()()()xaxaxaxaxxxxfxfxfxfxFxFxFxFx→→→→→∞→∞→∞→∞′′′′′′′′存在存在存在存在((((或为无穷大或为无穷大或为无穷大或为无穷大).).).).则则则则()()()()()()()()()()()()()()()()limlimlimlimlimlimlimlim()()()()()()()()xaxaxaxaxaxaxaxaxxxxxxxxfxfxfxfxfxfxfxfxFxFxFxFxFxFxFxFx→→→→→→→→→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞′′′′====′′′′....等价无穷小量替换等价无穷小量替换等价无穷小量替换等价无穷小量替换（代换）（代换）（代换）（代换）定理：定理：定理：定理：在同一个极限过程在同一个极限过程在同一个极限过程在同一个极限过程,,,,若若若若,ααββ′′∼∼，则，则，则，则limlimlimlimααααββββ′′===′′....注注注注：：：：等价无穷小量代换一般只能用在等价无穷小量代换一般只能用在等价无穷小量代换一般只能用在等价无穷小量代换一般只能用在整体整体整体整体乘乘乘乘、、、、除关系除关系除关系除关系，，，，而不能用在而不能用在而不能用在而不能用在局部局部局部局部乘乘乘乘、、、、除关系除关系除关系除关系和整体和整体和整体和整体加加加加、、、、减关系减关系减关系减关系....常用等价无穷小量：常用等价无穷小量：常用等价无穷小量：常用等价无穷小量：1111、、、、当当当当0000xxxx→→→→时时时时,,,,(1)(1)(1)(1)sin~tan~arcsin~arctansin~tan~arcsin~arctansin~tan~arcsin~arctansin~tan~arcsin~arctanxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx∼∼∼∼(2)(2)(2)(2)ln(1)~1;ln(1)~1;ln(1)~1;ln(1)~1;xxxxxexxexxexxex+−+−+−+−∼∼∼∼1~ln,1~ln,1~ln,1~ln,xxxxaxaaxaaxaaxa−−−−(3)(3)(3)(3)11112222(1)1~,1cos~(1)1~,1cos~(1)1~,1cos~(1)1~,1cos~2222xxxxxxxxxxxxxxxxαααααααα+−−+−−+−−+−−....2222、、、、1,ln11,ln11,ln11,ln1xxxxxxxxxxxx→−→−→−→−∼∼∼∼带皮亚诺余项带皮亚诺余项带皮亚诺余项带皮亚诺余项的的的的泰勒公式泰勒公式泰勒公式泰勒公式::::若若若若()()()()fxfxfxfx在在在在0000xxxx及其附近有直到及其附近有直到及其附近有直到及其附近有直到nnnn阶的导数阶的导数阶的导数阶的导数,,,,则则则则()()()()000000000000000000000000()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()!!!!(())(())(())(())nnnnnnnnnnnnfxfxfxfxfxfxfxxxxxfxfxfxxxxxfxfxfxxxxxfxfxfxxxxxnnnnoxxoxxoxxoxx′′′′=+−++−=+−++−=+−++−=+−++−+−+−+−+−⋯⋯⋯⋯....特别当特别当特别当特别当00000000xxxx====时，称为麦克劳林公式时，称为麦克劳林公式时，称为麦克劳林公式时，称为麦克劳林公式()()()()2222(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)()(0)(0)().()(0)(0)().()(0)(0)().()(0)(0)().2!!2!!2!!2!!nnnnnnnnnnnnfffffffffxffxxxoxfxffxxxoxfxffxxxoxfxffxxxoxnnnn′′′′′′′′′′′′=+++++=+++++=+++++=+++++⋯⋯⋯⋯在使用泰勒公式的时候，常用到如下无穷小的在使用泰勒公式的时候，常用到如下无穷小的在使用泰勒公式的时候，常用到如下无穷小的在使用泰勒公式的时候，常用到如下无穷小的运算：运算：运算：运算：2232322222()()(),()(),()()(),(3)().xoxoxoxoxoxoxoxoxoxox+=⋅=±=±=常用的麦克劳林展开式：常用的麦克劳林展开式：常用的麦克劳林展开式：常用的麦克劳林展开式：222222221();1();1();1();2222xxxxxxxxexoxexoxexoxexox=+++=+++=+++=+++33333333sin();sin();sin();sin();3!3!3!3!xxxxxxoxxxoxxxoxxxox=−+=−+=−+=−[phone]cos1();cos1();cos1();cos1();2!2!2!2!xxxxxoxxoxxoxxox=−+=−+=−+=−[phone]ln(1)();ln(1)();ln(1)();ln(1)();2222xxxxxxoxxxoxxxoxxxox+=−++=−++=−++=−+在自变量同一变化过程下在自变量同一变化过程下在自变量同一变化过程下在自变量同一变化过程下()0,()0()0,()0()0,()0()0,()0xxxxxxxxαβαβαβαβ→→→→→→→→（（（（1111）高阶：若）高阶：若）高阶：若）高阶：若()()()()lim0lim0lim0lim0()()()()xxxxxxxxααααββββ====，记为，记为，记为，记为()[()];()[()];()[()];()[()];xxxxxxxxαοβαοβαοβαοβ====（（（（2222）低阶：若）低阶：若）低阶：若）低阶：若()()()()limlimlimlim()()()()xxxxxxxxααααββββ=∞=∞=∞=∞，记为，记为，记为，记为()[()];()[()];()[()];()[()];xxxxxxxxβοαβοαβοαβοα====（（（（3333）同阶：）同阶：）同阶：）同阶：若若若若()()()()lim0lim0lim0lim0()()()()xxxxCCCCxxxxααααββββ=≠=≠=≠=≠,,,,记为记为记为记为()[()];()[()];()[()];()[()];xOxxOxxOxxOxαβαβαβαβ====若若若若1111CCCC====，称，称，称，称(),()(),()(),()(),()xxxxxxxxαβαβαβαβ是等价无穷小，记为是等价无穷小，记为是等价无穷小，记为是等价无穷小，记为()();()();()();()();xxxxxxxxαβαβαβαβ∼∼∼∼（（（（4444））））无穷小量的阶无穷小量的阶无穷小量的阶无穷小量的阶::::若若若若()()()()lim0lim0lim0lim0[()][()][()][()]kkkkxxxxCCCCxxxxααααββββ=≠=≠=≠=≠，称，称，称，称()()()()xxxxαααα是是是是()()()()xxxxββββ的的的的kkkk阶无穷小量阶无穷小量阶无穷小量阶无穷小量....宝典公式：(1)(1)(1)(1)()lim()0,lim()fxgxAgx==，则lim()0fx=；(2)(2)(2)(2)()lim()0,lim0()fxfxAgx==≠，则lim()0gx=；(3)(3)(3)(3)已知lim()()fxgxA=，lim()fx=∞，则lim()0gx=....1.1.1.1.连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续连续函数的和，差，积，商（分母不为零）及复合仍连续....2.2.2.2.初等函数在其定义区间内处处连续初等函数在其定义区间内处处连续初等函数在其定义区间内处处连续初等函数在其定义区间内处处连续....3.3.3.3.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质(1)(1)(1)(1)最值性最值性最值性最值性::::若若若若)(xf在在在在],[ba上连续上连续上连续上连续,,,,则则则则)(xf在在在在],[ba上必有最大值上必有最大值上必有最大值上必有最大值和最小值和最小值和最小值和最小值....(2)(2)(2)(2)有界性有界性有界性有界性::::若若若若)(xf在在在在],[ba上连续上连续上连续上连续，，，，则则则则)(xf在在在在],[ba上有界上有界上有界上有界....(3)(3)(3)(3)介值性介值性介值性介值性::::若若若若)(xf在在在在],[ba上连续上连续上连续上连续,,,,则则则则)(xf在在在在],[ba上可取到介于上可取到介于上可取到介于上可取到介于它在它在它在它在],[ba上最小值与最大值之间的一切值上最小值与最大值之间的一切值上最小值与最大值之间的一切值上最小值与最大值之间的一切值....(4)(4)(4)(4)零点定理零点定理零点定理零点定理((((或根的存在定理或根的存在定理或根的存在定理或根的存在定理):):):):若若若若)(xf在在在在],[ba连续连续连续连续,,,,且且且且0)()(⋅bfaf,,,,则必则必则必则必),(ba∈∃ξ，使，使，使，使0)(=ξf....求导法则求导法则求导法则求导法则：：：：1111．四则运算法则；．四则运算法则；．四则运算法则；．四则运算法则；2222．复合函数求导法；．复合函数求导法；．复合函数求导法；．复合函数求导法；3333．隐函数求导法；．隐函数求导法；．隐函数求导法；．隐函数求导法；4444．反函数求导数；．反函数求导数；．反函数求导数；．反函数求导数；5555．参数方程求导法；．参数方程求导法；．参数方程求导法；．参数方程求导法；6666．对数求导法；．对数求导法；．对数求导法；．对数求导法；7777．高阶导数．高阶导数．高阶导数．高阶导数....高阶导数高阶导数高阶导数高阶导数1111．归纳法．归纳法．归纳法．归纳法求一阶求一阶求一阶求一阶y′、二阶、二阶、二阶、二阶y′′，归纳，归纳，归纳，归纳n阶导数阶导数阶导数阶导数)(ny．．．．2222．公式法．公式法．公式法．公式法（莱布尼兹公式（莱布尼兹公式（莱布尼兹公式（莱布尼兹公式））））：：：：.0)()()()(knkknnvnkuCuv−∑==注：注：注：注：(1)(1)(1)(1)()sin()sin();2nnaxbaaxbnπ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦+=++⋅()cos()cos();2nnaxbaaxbnπ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦+=++⋅(2)(2)(2)(2)()ln;nnxxaaa⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=⋅(3)(3)(3)(3)()[(1)](1)(1)(1)nnxnxµµµµµ−+=−−++⋯;;;;特别地，特别地，特别地，特别地，(