离散型随机变量的均值课件

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·选修2-3随机变量及其分布第二章2.3离散型随机变量的均值与方差第二章2.3.1离散型随机变量的均值典例探究学案2巩固提高学案3自主预习学案1备选练习4自主预习学案•1.通过实例，理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值，掌握两点分布、二项分布的均值，并能解决一些实际问题．•2．通过本节学习，体会离散型随机变量的均值在实际生活中的意义和应用，提高数学应用意识，激发学习兴趣．•重点：离散型随机变量的均值概念及计算．•难点：求离散型随机变量的均值．•温故知新•回顾复习求样本平均数的方法和在频率分布直方图中求平均数的估计值的方法．•离散型随机变量的均值•思维导航•1．有一组数据，其中有3个1,2个2,1个3，这组数据的平均数是多少？从中任取一个数据，用X表示这个数据，X的可能取值有哪些？X取每个值的概率是多少？将X的每个值与其对应的概率相乘，求其所有积的和与上面求得的平均数相比较，你发现了什么？•新知导学•1．定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为•则称E(X)＝_________________________为随机变量X的_______或__________．•2．离散型随机变量的数学期望反映了离散型随机变量取值的_______水平．•3．若离散型随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)＝_______.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋xnpn均值数学期望平均p4．若X～B(n，p)，则E(X)＝__________.设q＝1－p，∵P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k＝Cknpkqn－k，∴E(X)＝0×C0np0qn＋1×C1np1qn－1＋2×C2np2qn－2＋…＋k×Cknpkqn－k＋…＋n×Cnnpnq0，又∵kCkn＝k·n！k！n－k！＝n·n－1！k－1！[n－1－k－1]！＝__________，∴E(X)＝np(C0n－1p0qn－1＋C1n－1p1qn－2＋…＋Ck－1n－1pk－1q(n－1)－(k－1)＋…＋Cn－1n－1pn－1q0)＝np·__________＝__________.np(p＋q)n－1npnCk－1n－1•5．若a、b为常数，X为离散型随机变量，则aX＋b也是离散型随机变量，并且E(aX＋b)＝__________，特别地，E(c)＝______(c是常数)．aE(X)＋bc牛刀小试1．(2013·广东理，4)已知离散型随机变量X的分布列为()X123P35310110则X的数学期望E(X)＝()A．32B．2C．52D．3•[答案]A[解析]E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝32.2．节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.6元处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X(束)的分布列如下表．若进这种鲜花500束，则期望利润是()X200300400500P0.200.350.300.15A.706元B．690元C．754元D．720元•[答案]A•[解析]节日期间这种鲜花需求量的数学期望E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)，则利润Y＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元)．故期望利润为706元．应选A.•3．由于电脑故障，使得随机变量X的概率分布列中部分数据丢失(以□代替)，其表如下表．请你先将丢失的数据补全，再求随机变量的数学期望，其期望值为________.•[答案]3.5•[解析]本题考查随机变量的概率，数学期望．由分布列的性质知，它们的概率的和为1，可以得到应填的数为2，然后根据数学期望E(X)＝1×0.20＋2×0.10＋3×0.25＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.20＝3.5.X123456P0.200.100.□50.100.150.20•4．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X的均值E(X)＝________.[答案]503[解析]这是100次独立重复试验，X～B100，16，∴E(X)＝100×16＝503.•5．(2014·天津理，16)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．•(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；•(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．[解析](1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝C13·C27＋C03C37C310＝4960.所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(X＝k)＝Ck4·C3－k6C310(k＝0、1、2、3)．所以，随机变量X的分布列是X0123P1612310130随机变量X的数学期望E(X)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.典例探究学案•求离散型随机变量的均值甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．•[分析](1)“甲获胜”的含义是：第一次甲中，或者第一次甲、乙都不中、第二次甲中，或者第一、二次甲、乙都不中，第三次甲中．•(2)“甲投球次数”ξ的取值为1、2、3，ξ＝1表示第一次甲中；ξ＝2表示第一次甲、乙都未中，第二次甲中；ξ＝3表示第一、二次甲、乙都不中．[解析]设Ak、Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak)＝13，P(Bk)＝12，(k＝1,2,3)．(1)记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P(C)＝P(A1)＋P(A1B1A2)＋P(A1B1A2B2A3)＝P(A1)＋P(A1)P(B1)P(A2)＋P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)＝13＋23×12×13＋(23)2×(12)2×13＝1327.(2)ξ的所有可能值为1、2、3.由独立性知P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(A1B1)＝13＋23×12＝23，P(ξ＝2)＝P(A1B1A2)＋P(A1B1A2B2)＝23×12×13＋(23)2(12)2＝29，P(ξ＝3)＝P(A1B1A2B2)＝(23)2×(12)2＝19.综上知，ξ的分布列为：ξ123P232919从而，E(ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139(次)．•[方法规律总结]求离散型随机变量的期望的一般步骤是：①明确随机变量的取值，以及取每个值的所有试验结果；②求出随机变量取各个值的概率；③列出分布列；④利用期望公式进行计算．•(2013·福州文博中学高二期末)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：•请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝()t123P(ξ＝t)？！？•A．1B．4•C．3D．2•[答案]D•[解析]设？处为x，！处为y，则由分布列的性质得2x＋y＝1，∴期望E(ξ)＝1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝4x＋2y＝2.已知随机变量X的分布列为X024P0.4m0.3求：(1)E(X)；(2)若Y＝5X＋4，求E(Y)．•[分析](1)可由离散型随机变量X的分布列的性质求出m.•(2)利用期望公式及性质求解•离散型随机变量的均值的性质•[解析](1)由离散型随机变量分布列的性质，•得0.4＋m＋0.3＝1.•∴m＝0.3，∴E(X)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8.•(2)方法一：∵Y＝5X＋4，•∴随机变量Y的分布列为：•∴E(Y)＝4×0.4＋14×0.3＋24×0.3•＝1.6＋4.2＋7.2＝13.•方法二：∵Y＝5X＋4，•∴E(Y)＝E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×1.8＋4＝13.Y41424P0.40.30.3•[方法规律总结]对于aX＋b型的随机变量，利用期望的性质E(aX＋b)＝aE(X)＋b求解较简捷．(1)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝16(k＝1、2、3、4、5、6)，求E(2X＋3)；(2)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝1n(k＝1、2、…、n)，求E(X)．•[分析]利用离散型随机变量的均值概念与性质解题．[解析](1)E(X)＝1×16＋2×16＋…＋6×16＝3.5，∴E(2X＋3)＝2EX＋3＝2×3.5＋3＝10.(2)E(X)＝1n(1＋2＋…＋n)＝1n·nn＋12＝n＋12.•[分析]由客户发出邀请后，每一位客户领奖的概率都为4%，且各客户是否领奖相互独立，向3000个客户发出领奖邀请，就是做了3000次独立重复试验，故随机变量X服从二项分布，可直接用二项分布的均值公式求解．•两点分布与二项分布的期望某公司有客户3000人，若公司准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取，假设收到邀请的任一客户去领奖的概率为4%.问：公司能否向每一位顾客都发出领奖邀请？若向每一位顾客都发出领奖邀请，且能使每一位领奖人都得到礼品，公司至少应准备多少份礼品？[解析]设公司向每一位顾客发出领奖邀请后来领奖的人数为X，则P(X＝k)＝Ck3000(0.04)k(1－0.04)3000－k(k＝0、1、2、…、3000)，可见X～B(3000,0.04)，所以，EX＝3000×0.04＝120(人)100(人)．所以不能向每一位顾客都发出领奖邀请．若向每一位顾客都发出领奖邀请，且能使每一位领奖人都得到奖品，公司至少应准备120份礼品．•[方法规律总结]1.求期望的实际应用问题一般步骤：首先判断随机变量X是否服从特殊分布(如两点分布和二项分布)，如果是，代入相应的公式求期望值；如果不是，则先列出X的分布列，再代入期望公式求解．•2．解答实际应用问题时，先分析实际背景，将所求问题概率模型化，再利用有关概率知识求解．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙没有中奖的概率；(2)求中奖人数ξ的分布列及数学期望E(ξ)．•[分析]①甲、乙、丙中奖是等可能事件，而甲中奖与乙，丙未中奖是相互独立的．②中奖人数可为0、1、2、3且相互独立，由相互独立事件至少有一个发生的概率公式计算即可．[解析](1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么P(A)＝P(B)＝P(C)＝16.P(A·B·C)＝P(A)P(B)P(C)＝16·(56)2＝25216.答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为25216.(2)ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ＝k)＝Ck316k563－k，k＝0、1、2、3.所以中奖人数ξ的分布列为ξ0123P12521625725721216E(ξ)＝0×125216＋1×2572＋2×572＋3×1216＝12.•[点评]本题主要考查相互独立事件，随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查了运用所学知识解决问题的能力．•综合应用(2014·郑州市质检)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取100个进行调研，按成绩分组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组