32第四章刚体的定轴转动4–1半径为20cm的主动轮,通过皮带拖动半径为50cm的被动轮转动,皮带与轮之间无相对滑动,主动轮从静止开始作匀角加速度转动,在4s内被动轮的角速度达到π/s8,则主动轮在这段时间内转过了圈。解:被动轮边缘上一点的线速度为πm/s45.0π8222rv在4s内主动轮的角速度为πrad/s202.0π412111rrvv主动轮的角速度为2011πrad/s540π2t在4s内主动轮转过圈数为20π520ππ2(π212π212121N(圈)4–2绕定轴转动的飞轮均匀地减速,t=0时角速度为0=5rad/s,t=20s时角速度为08.0,则飞轮的角加速度=,t=0到t=100s时间内飞轮所转过的角度=。解:由于飞轮作匀变速转动,故飞轮的角加速度为20s/rad05.020558.0tt=0到t=100s时间内飞轮所转过的角度为rad250100)05.0(21100521220tt4–3转动惯量是物体量度,决定刚体的转动惯量的因素有。解:转动惯性大小,刚体的形状、质量分布及转轴的位置。4–4如图4-1,在轻杆的b处与3b处各系质量为2m和m的质点,可绕O轴转动,则质点系的转动惯量为。解:由分离质点的转动惯量的定义得221iiirmJ22)3(2bmmb211mb4–5一飞轮以600r/min的转速旋转,转动惯量为2.5kg·m2,现加一恒定的制动力矩使飞轮在1s内停止转动,则该恒定制动力矩的大小M=_________。解:飞轮的角加速度为20s/rad20160/π26000t制动力矩的大小为mNπ50π)20(5.2JM负号表示力矩为阻力矩。图4-1m2mb3bO334–6半径为0.2m,质量为1kg的匀质圆盘,可绕过圆心且垂直于盘的轴转动。现有一变力F=5t(SI)沿切线方向作用在圆盘边缘上,如果圆盘最初处于静止状态,那么它在3秒末的角加速度为,角速度为。解:圆盘的转动惯量为222mkg02.0)2.0(12121mRJ。3秒末的角加速度为srad303101002.052.0/ttJM由ttdd10即ttd10d对上式积分,并利用初始条件:0t时,00,得300d10dtts/rad454–7角动量守恒定律成立的条件是。解:刚体(质点)不受外力矩的作用或所受的合外力矩为零。4–8以下运动形态不是平动的是[]。A.火车在平直的斜坡上运动B.火车在拐弯时的运动C.活塞在气缸内的运动D.空中缆车的运动解:火车在拐弯时,车厢实际是平动和转动的合成,故不是平动,应选(B)。4–9以下说法错误的是[]。A.角速度大的物体,受的合外力矩不一定大B.有角加速度的物体,所受合外力矩不可能为零C.有角加速度的物体,所受合外力一定不为零D.作定轴(轴过质心)转动的物体,不论角加速度多大,所受合外力一定为零解:角速度大的物体,角加速度不一定大,由于JM,所以它所受的合力矩不一定大;如果一个物体有角加速度,则它一定受到了合外力矩的作用;合外力矩不等于零,不等于所受的合力一定不为零,如物体受到了一个大小相等,方向相反而不在一条直线上的力的作用;当物体作定轴(轴过质心)转动时,质心此时的加速度为零,根据质心运动定律,它所受的合外力一定零。综上,只有(C)是错误的,故应选(C)。4–10有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上:[](1)这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的合力矩一定是零;(2)这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力矩可能是零;(3)当这两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩也一定是零;(4)当这两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力也一定是零。在上述说法中A.只有(1)是正确的B.(1)、(2)正确,(3)、(4)错误34C.(1)、(2)、(3)都正确,(4)错误D.(1)、(2)、(3)、(4)都正确解:这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的矩都为零,自然合力矩为零,故(1)正确;当两个力都垂直于轴作用时,如果两个力大小相等、方向相反,作用在物体的同一点,则它们的合力矩为零,或两个力都通过转轴,两力的力矩都等于零,合力矩也等于零,但如两力大小不等,方向相反,也可通过改变力臂,使两力的合力矩为零,如此时力臂相同,则合力矩不等于零,因此(2)也时正确的;当这两个力的合力为零时,还要考虑力臂的大小,所以合力矩不一定为零,故(3)是错误的;两个力对轴的合力矩为零时,因FrM,所以它们的合力不一定为零,故(4)也是错误的。故答案应选(B)。4–11一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O转动。如图4-2所示,射来两个质量相同、速度的大小相同而方向相反,并在同一条直线上的子弹。子弹射入并且停留在圆盘内,则子弹射入的瞬间,圆盘的角速度与射入前角速度0相比[]。A.增大B.不变C.减小D.不能确定解:设射来的两子弹的速度为v,对于圆盘和子弹组成的系统来说,无外力矩作用,故系统对轴O的角动量守恒,即JJdmdm00vv式中dmv这子弹对点O的角动量,0J为子弹射入前盘对轴O的转动惯量,J为子弹射入后系统对轴O的转动惯量。由于JJ0,则0。故选(C)。4–12如图4-3所示,有一个小块物体,置于一个光滑水平桌面上。有一绳其一端连接此物体,另一端穿过中心的小孔。该物体原以角速度ω在距孔为r的圆周上转动,今将绳从小孔缓慢往下拉,则物体[]。A.角速度减小,角动量增大,动量改变B.角速度不变,动能不变,动量不变C.角速度增大,角动量增大,动量不变D.角速度增大,动能增加,角动量不变解:在拉力绳子的过程中,力对小球的力矩为零,故小球的角动量在转动过程中不变,有2211JJ。当小球的半径减小时,小球对O点的转动惯量减小,即21JJ,故22,角速度增大,小球转得更快。又由2211JJ可得2211rmrmvv,因21rr,所以12vv,故小球的动能增加,小球的动量也要发生变化。故选(D)4–13有一半径为R的水平圆转台,可绕过其中心的竖直固定光滑轴转动,转动惯量为J。开始时,转台以角速度0转动,此时有一质量为M的人站在转台中心,随后人沿半径向外跑去。当人到达转台边缘时,转台的角速度为[]。A.20MRJJB.20)(RMJJC.20MRJD.0解:人站在转台中心时,他相对于转台中心的角动量为零。当人沿半径向外跑去,到达O图4-2图4-3FrO35转台边缘的过程中,不受外力矩作用,人和转台组成的系统角动量守恒,由于人是沿半径方向走,故人和转台的角速度相同,相对于转台中心有角动量2RMRMv。根据角动量守恒,可列方程得20RMJJ故20MRJJ所以应选(A)。4–14一力学系统由两个质点组成,它们之间只有引力作用,若两质点所受外力矢量和为零,则此系统[]。A.动量、机械能、角动量均守恒B.动量、机械能守恒,角动量不守恒C.动量守恒,但机械能和角动量是否守恒不能断定D.动量、角动量守恒,但机械能是否守恒不能断定解:由于两质点系所受的合外力为零,故系统的动量守恒。当质点所受的合外力不是共点力时,尽管两质点所受的合外力矢量和为零,但力矩不为零,则物体将转动,从而改变系统的机械能和角动量,而当质点所受的合外力为共点力,且外力矢量和为零时,质点所受的力矩将为零。则系统的机械能和角动量将守恒,所以,应选(C)。4–20两个匀质圆盘,一大一小,同轴地粘结在一起,构成一个组合轮。小圆盘的半径为r,质量为m;大圆盘的半径r=2r,质量m=2m。组合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴O转动,对O轴的转动惯量J=9mr2/2。两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳,细绳下端各悬挂质量为m的物体A和B,如图4-7所示。这一系统从静止开始运动,绳与盘无相对滑动,绳的长度不变。已知r=10cm。求:(1)组合轮的角加速度;(2)当物体A上升h=40cm时,组合轮的角速度。解:(1)各物体受力情况如图4–8。A、B看成质点,应用牛顿第二定律。滑轮是刚体,应用刚体转动定律,得TT′mgmgaABa′αTT′图4-8ABrr′mm′图4-736mamgTamTmgJTrrT222292121mrmrrmJ又因绳与盘无相对滑动,故有rara由上述方程组,代入题给已知条件可得2s/rad3.10192rg(2)设θ为组合轮转过的角度,则rad41.04.0rh所以组合轮的角速度为s/rad08.943.10224–24如图4-14所示,A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上,设两轮的转动惯量分别为2mkg10AJ和2mkg20BJ,开始时,A轮转速为600转/分,B轮静止,C为摩擦啮合器,其转动惯量可忽略不计,A、B分别与C的左、右两个组件相连,当C的左右组件啮合时,B轮加速而A轮减速,直到两轮的转速相等为止。设轴光滑,求:(1)两轮啮合后的转速n;(2)两轮各自所受的冲量矩。解:选A、B两轮为系统,合外力矩为零,系统角动量守恒,有BAAAJJJsrad9.20/JJJBAAA200π2nr/minA轮所受的冲量矩为smN1019.4d2AAAJtM负号表示冲量矩与Aω方向相反。B轮所受的冲量矩:smN1019.4d2BBBJtM正号表示冲量矩与Aω方向相同。4–26如图4-15所示,一质量M,半径为R的圆柱,可绕固定的水平轴O自由转动。今有一质量为m,速度为0v的子弹,水平射入静止的圆柱下部(近似看作在圆柱边缘),且停留在圆柱内(0v垂直于转轴)。求:(1)子弹与圆柱的角速度;(2)该系统损失的机械能。解:(1)子弹与圆柱发生完全非弹性碰撞,所受合外力矩为零,角动量守恒。设子弹与圆柱碰后角速度为,则有BACωA图4-1437JRm0v其中2221mRMRJ,是子弹和圆柱绕轴O转动的转动惯量。所以子弹射入后子弹与圆柱的角速度为22021mRMRRmv(2)损失的机械能为)2(2212120220mMMmJmEvv4–28如图4-16所示,一均匀细棒长L,质量为m,可绕经过端点的O轴在铅直平面内转动,现将棒自水平位置轻轻放开,当棒摆至竖直位置时棒端恰与一质量也为m的静止物块相碰,物块与地面的滑动摩擦因数为μ,物块被击后滑动s距离后停止,求相撞后棒的质心离地面的最大高度。解:取棒和地球为一系统,细棒从水平位置转到竖直位置的过程中,只有重力作功,机械能守恒,得2312121222LmgmLJ所以Lg3(1)取棒和木块为研究对象,碰后棒的角速度为ω′,木块的速度为v,碰前后M外=0。故角动量守恒,有2231031mLmLLmv(2)物体碰后在地面上滑行,应用动能定理,有2210vmmgsgs2v(3)由(1)、(2)和(3)式得碰后棒的角速度为gsLgL233设棒与物体碰后,棒的质心升高Δh,由机械能守恒,有221Jhmg故slsLh632ORv0图4-15图4-16OABmms38即质心离地面的最大高度为sLsLhLh6324–29长为l、质量为M的匀质杆可绕通过杆一端O的水平光滑固定轴转动,转动惯量为3/2MlJ,开始时杆竖直下垂,如图4-17所示。有一质量为m的子弹以水平速度0v射入杆上A点,并嵌在杆中,OA=2l/3。求子弹射入后瞬间杆的角速度。解:子弹射入前后子弹和杆组成的系统的角动量守恒,所以22031323232MllmJlmlmvv所以lmMm)43(60v4–31证明关于行星运动的开普勒第二定律,即行星对恒星的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。