文科高考数学立体几何大题求各类体积方法

ABCDPABCDP文科高考数学立体几何大题求各类体积方法【三年真题重温】1.【2011新课标全国理，18】如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB60，2ABAD，PD⊥底面ABCD．(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PDAD，求二面角APBC的余弦值．2.【2011新课标全国文，18】如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形．60,2,DABABADPD底面ABCD．(Ⅰ)证明：PABD；(Ⅱ)设1PDAD，求棱锥DPBC的高．根据DEPBPDBD，得32DE．即棱锥DPBC的高为32．3.【2010新课标全国理，18】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点.（1）证明：PEBC（2）若APB=ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值【解析】命题意图：本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力.4.【2010新课标全国文，18】如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD,ACBD,垂足为H，PH是四棱锥的高。（Ⅰ）证明：平面PAC平面PBD;（Ⅱ）若6AB,APBADB60°,求四棱锥PABCD的体积。5.【2012新课标全国理】（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABCABC中，112ACBCAA，D是棱1AA的中点，BDDC1（1）证明：BCDC1（2）求二面角11CBDA的大小。6.【2012新课标全国文】（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA1，D是棱AA1的中点(Ｉ)证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。【命题意图猜想】1.纵观2011年和2010年高考对本热点的考查，均以四棱锥为背景，并且建立空间直角坐标系较为容易，在第一问中均考查线线垂直的证明，这种位置关系的证明已经连续三年进行了考查.理科考查了线面角和二面角，这两种角的考查有隔年考查的规律.两年的文科试题考查了体积问题.在2012年以三棱柱为背景，考查垂直关系的证明和二面角的求解，文科考查了面面垂直的证明和几何体的体积求解.猜想2013年很可能以棱锥或者球相关的组合体为背景，在建坐标系上不会太直观，考查线面平行位置关系，理科第二问可能给出某个角，考查点的位置或设置一问探索性问题，而文科第二问仍以求体积或表面积为主.2.从近几年的高考试题来看，直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定是高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中等偏低；主要考查线面平行的判定，考查线∥线⇌线∥面⇌面∥面的转化思想，并且考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力．预测2013年仍将以线面平行的判定为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力．3.从近几年的高考试题来看，线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质、线面角（理）等是高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高，客观题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查线面角的概念及求法；而主观题不仅考查以上内容，同时还考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．预测2013年高考仍将以线面垂直、面面垂直、线面角为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力．4.从近几年的理科高考试题来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点，题型主要为解答题，难度属于中等，主要考查向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法解决空间角问题等，同时注重考查学生的空间想象能力、运算能力．预测2013年高考仍将以用向量证明平行与垂直，以及利用向量求空间角为主要考点，重点考查向量的数量积及学生的空间想象能力、运算能力等．【最新考纲解读】1．点、直线、平面之间的位置关系(1)理解空间直线、平面位置关系的定义．了解可以作为推理依据的公理和定理．(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．2．空间向量及其运算（理）(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．(4)理解直线的方向向量与平面的法向量定义．(5)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．(6)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(7)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用．【回归课本整合】1.直线与平面平行的判定和性质（1）判定：①判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行.（2）性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.注意：在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.2.直线和平面垂直的判定和性质（1）判定：①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直.（2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直.②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.3.平面与平面平行（1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行.注意：这里必须清晰“相交”这个条件.如果两个平面平行，那么在其中一个平面内的所有直线与另一个平面无公共点，即这些直线都平行于另一个平面.（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.注意：这个定理给出了判断两条直线平行的方法，注意一定是第三个平面与两个平行平面相交，其交线平行.4.两个平面垂直的判定和性质（1）判定：①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.②定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角；注意：在证明两个平面垂直时，一般先从已知有的直线中寻找平面的垂线，若不存在这样的直线，则可以通过添加辅助线解决，而作辅助线应有理论依据；如果已知面面垂直，一般先用面面垂直的性质定理，即在一个平面内作交线的垂直，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.（2）性质：①如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.②两个平面垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.注意：性质定理中成立有两个条件：一是线在平面内，二是线垂直于交线，才能有线面垂直.(3)立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面5.（理）直线与平面所成的角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。当直线和平面垂直时，就说直线和平面所称的角为直角；当直线与平面平行或在平面内时，就说直线和平面所称的角为0角.（2）范围：[0,90]；（3）求法：作出直线在平面上的射影,关键是找到异于斜足的一点在平面内的垂足，可根据面面垂直的性质定理来确定垂线。（4）最小角定理：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角是斜线与平面所成的角。6.（理）二面角（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的大小是通过其平面角来度量的平面角，而二面角的平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直。（2）作平面角的主要方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；②三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；（3）二面角的范围：[0,]；7（理）利用向量处理平行问题（1）证明线线平行，找出两条直线的方向向量，证明方向向量共线；（2）证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线（平行）；②证明直线的方向向量与平面的两个不共线向量是共线向量，即利用共面向量定理进行证明；③证明直线的方向向量与该平面的法向量垂直.（3）平面与平面平行的证明方法：证明两个平面的法向量平行.8（理）利用向量处理垂直问题（1）证明线线垂直，可证明两条线的方向向量的数量积为0；（2）证明线面垂直方法：①根据线面垂直的判定定理利用向量证明直线与平面内的两条相交直线垂直；②转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线.（3）证明面面垂直的方法：①根据面面垂直的判定定理利用向量证明一个平面内的一条直线方向向量为另一个平面的法向量；②证明一个平面的法向量与另一人平面平行；③转化为证明这两个平面的法向量互相垂直.9.（理）利用向量处理角度问题1.求异面直线所成的角的向量法：其基本步骤是（1）在a、b上分别取,ABCD；或者建立空间直角坐标系用坐标表示,ABCD;(2)由公式cos||||||ABCDABCD确定异面直线a与b所成角的大小。2.求直线和平面所成的角的向量法：在斜线上取一方向向量a，并求出平面的一个法向量n，若设斜线和平面所成的角为,由sincos,||||||ananan.3.求二面角的向量法：方法（1）设n，m分别是平面,的法向量，则向量n和m的夹角与二面角l的平面角相等或互补.方法（2）二面角的棱l上确定两个点BA、，过BA、分别在平面、内求出与l垂直的向量21nn、，则二面角l的大小等于向量21nn、的夹角，即.||||cos2121nnnn【方法技巧提炼】1.线线平行与垂直的证明证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.2.线面平行与垂直的证明方法线面平行与垂直位置关系的确定，也是高考考查的热点，在小题中考查关系的确定，在解答题考查证明细节.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.线面平行的证明思考途径：线线平行线面平行面面平行.线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的证明思考途径：线线垂直线面垂直面面垂直.3.面面平行与垂直的证明（1）面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量