2014广东高考文科数学试题及答案

第1页2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考公式：锥体的体积公式13VSh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．一组数据12,,,nxxx的方差2222121[()()()]nsxxxxxxn，其中x表示这组数据的平均数．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{2,3,4}M，{0,2,3,5}N，则MNA．{3,5}B．{3,4}C．{2,3}D．{0,2}2．已知复数z满足(34)25iz，则zA．34iB．34iC．34iD．34i3．已知向量(1,2)a，(3,1)b，则baA．(4,3)B．(2,0)C．(2,1)D．(2,1)4．若变量,xy满足约束条件280403xyxy≤≤≤≤≤，则2zxy的最大值等于A．11B．10C．8D．75．下列函数为奇函数的是A．22xxB．2cos1xC．3sinxxD．122xx6．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为A．20B．25C．40D．507．在ABC中，角CBA,,所对应的边分别为cba,,，则“ab≤”是“sinsinAB≤”的A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件8．若实数k满足05k，则曲线221165xyk与曲线221165xyk的A．焦距相等B．离心率相等C．虚半轴长相等D．实半轴长相等9．若空间中四条两两不同的直线1234,,,llll，满足12ll，23//ll，34ll，则下列结论一定正确的是A．14llB．14//llC．1l与4l既不垂直也不平行D．1l与4l的位置关系不确定10．对任意复数12,，定义1212*，其中2是2的共轭复数，对任意复数123,,zzz有如下四个命题：第2页图1AFEDCB①1231323()()()***zzzzzzz；②1231213()()()***zzzzzzz；③123123()()****zzzzzz；④1221**zzzz．则真命题的个数是A．4B．3C．2D．1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11~13题）11．曲线53xye在点(0,2)处的切线方程为______________．12．从字母,,,,abcde中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为______________．13．等比数列na的各项均为正数，且154aa，则2122232425log+log+log+log+log=aaaaa________．（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C与2C的方程分别为22cossin与cos1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C与2C交点的直角坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且2EBAE，AC与DE交于点F，则CDFAEF的周长的周长＝．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()sin()3fxAx，xR，且532()122f．（1）求A的值；（2）若()()3ff，)2,0(，求()6f．17．（本小题满分13分）某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁）工人数（人）191283293305314323401合计20（1）求这20名工人年龄的众数与极差；第3页图3PABCEDFMPABCD图2（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差．18．（本小题满分13分）如图2，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，1AB，2BCPC．作如图3折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF．（1）证明：CF平面MDF；（2）求三棱锥MCDE的体积．19．（本小题满分14分）设各项均为正数的数列na的前n项和为nS，且nS满足222(3)3()0nnSnnSnn，*nN．（1）求1a的值；（2）求数列na的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有11221111(1)(1)(1)3nnaaaaaa．20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1xyCab(0)ab的一个焦点为(5,0)，离心率为53．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点00(,)Pxy为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．21．（本小题满分14分）已知函数321()13fxxxax()aR．（1）求函数()fx的单调区间；第4页（2）当0a时，试讨论是否存在011(0,)(,1)22x，使得01()()2fxf．2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．题号12345678910答案CACBDBAADC二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．11．520xy12．2513．514．(1,2)15．32．A解析：2525(34)25(34)=34.34(34)(34)25iiziiii4．B解析：作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10.111()2,(),()5D22(),222().xxxxxxfxfxRfxfxfx解析：设则的定义域为且　　　　　为奇函数．100025.4B06解析：分段的间隔为．,,,sin,sin,sinsin.sinsin7AababABabABAB解析：由正弦定理知都为正数．05,50,160,16(5)21(16)58,Akkkkkk解析：从而两曲线均为双曲线,　　又故两双曲．线的焦距相等.123123132313231231231231213121312312312312312310C()()()()()();()()()()()()();(),()()(),zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz．①*===*+*,故①是真命题　　　　　②**+*,②对　　③左边=*=右边*解析：左12122121,;,,,zzzzzzzz边右边③错　　④左边=*右边=*左边右边故④不是真命题.　　综上,只有①②是真命题.''05,5,25,50.121xxyeyyxxy解析：所求切线方程为即．142542.15201CPC解析：．212223242525242322212152logloglogloglog,logloglogloglog,25log()5log410,135.SaaaaaSaaaaaSaaS解析：设　则　　　　　．第5页22212122cossin2cos=sin,2,1,,(1,2).14CyxCxCC解析：由得（）故的直角坐标方程为:　　的直角坐标方程为:交点的直角坐标为．,53.1CDFCDEBAECDFAEFAEFAEAE的周长解析：显然的周长．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）解：（1）55332()sin()sin1212342fAA，解得3.A（2）由（1）得()3sin()3fxx，所以()()3sin()3sin()3sin()3sin()3333ff3(sincoscossin)3(sincoscossin)33336sincos3sin33.所以3sin3，又(0,)2，所以26cos1sin3.所以6()3sin()3sin()3cos3666323f.17．（13分）解：（1）这20名工人年龄的众数为30，极差为401921（2）茎叶图如图所示：（3）年龄的平均数为(1928329330531432340)3020x所以这20名工人年龄的方差为222222221(1930)3(2830)3(2930)5(3030)4(3130)3(3230)(4030)20s1252(1211230412100)12.6202018.（13分）解：（1）证明：因为PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.因为在矩形ABCD中CDAD，又CDPDD，所以AD平面PCD.因为CF平面PCD，所以ADCF.因为MFCF，MFADM，所以CF平面ADF.（2）因为CF平面ADF，DF平面ADF，所以CFDF.因为1ABCD，2BCPC，所以60PCD，30CDF，所以111242CFCDPC，3PD.因为EF∥DC，所以1344DEPD，33344PEPD.192888999300000111122240第6页所以334EMPE，2262MDMEDE，1328CDESCDDE，因为MD平面CDE，所以三棱锥MCDE的体积11362338216MCDECDEVSMD.19．（14分）解：（1）由222(3)3()0nnSnnSnn，得2(3)()0nnSSnn.因为na是正项数列，所以0na，0nS，所以2nSnn.当1n时，112aS.（2）当2n≥时，221[(1)(1)]2nnnaSSnnnnn；当1n时，12a，满足上式，所以数列na的通项公式为2nan，*nN（3）因为111111()(1)2(21)(21)(21)22121nnaannnnnn所以11221111111111111()()()(1)(1)(1)2323525722121nnaaaaaann1111111()623213423nn20．（14分）解：（1）依题意得5c，53cea，所以3a，2224bac，所以椭圆C的标准方程为22194xy.（2）当过点P的两条切线12,ll的斜率均存在时，设12,ll的斜率分别为12,kk，设切线方程为00()yykxx，联立2200194()xyyykxx，得2220000(49)18()9()360kxkykxxykx，所以22220000(18)()4(49)[9()36]0kykxkykx，整理得2200()49ykxk，即2220000(9)240xkxyky，因为12ll，所以201220419ykkx，整理得220013xy；当过点P的两条切线12,ll一条斜率不存在，一条斜率为0时，P为(3,2)或(3,2)，均满足220013xy.综上所述，点P的轨迹方程为2213xy.21．（14分）解：（1）2()2fxxxa，xR.令220xxa，44a.①当1a