Green公式及拓展

Green第一第二第三公式的证明1.1Green第一公式证明Green第一公式：∬[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]𝐒dxdy=−∬us∆udxdy+∮u∂u∂n⃗cds证明：不妨设n⃗=(cosθ,sinθ);由方向导数的定义有：∂u∂n⃗=∂u∂xcosθ+∂u∂ysinθ可知有cosθ=dy√(𝐝𝐱)𝟐+(𝐝𝐲)𝟐；sinθ=−dx√(𝐝𝐱)𝟐+(𝐝𝐲)𝟐；𝐝𝐬=√(𝐝𝐱)𝟐+(𝐝𝐲)𝟐；故有∮u∂u∂n⃗cds=∮uc(∂u∂xdy√(𝐝𝐱)𝟐+(𝐝𝐲)𝟐+∂u∂ydy√(𝐝𝐱)𝟐+(𝐝𝐲)𝟐)√(𝐝𝐱)𝟐+(𝐝𝐲)𝟐=∮uc∂u∂xdy−u∂u∂ydx由Green公式∬(∂Q∂x−∂P∂y)Ddxdy=∮Pdx+Qdy∂D；得∮uc∂u∂xdy−u∂u∂ydx=∬[∂∂x(u∂u∂x)−∂∂y(−u∂u∂y)]Sdxdy=∬[∂∂x(u∂u∂x)+∂∂y(u∂u∂y)]Sdxdy=∬[∂∂x(∂u∂x)u+(∂u∂x)2+∂∂y(∂u∂y)u+(∂u∂y)2]dxdyS=∬[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]dxdyS+∬[∂∂x(∂u∂x)u+∂∂y(∂u∂y)u]dxdyS=∬[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]dxdyS+∬u[∂∂x(∂u∂x)+∂∂y(∂u∂y)]dxdyS=∬[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]dxdyS+∬uS∆udxdy即有∮u∂u∂n⃗cds=∬[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]dxdyS+∬uS∆udxdy移项可得原式，得证。1.2Green第二公式证明Green第二公式：∬|∆u∆vuv|dxdyS=∮|∂u∂n⃗∂v∂n⃗uv|Cds证明：等式左边展开：∬|∆u∆vuv|dxdyS=∬v∆u−u∆vdxdyS=∬v∆u−u∆vdxdyS右边∮|∂u∂n⃗∂v∂n⃗uv|Cds=∮(∂u∂n⃗Cv−∂v∂n⃗u)ds=∮v∂u∂xCdy√(𝐝𝐱)𝟐+(𝐝𝐲)𝟐−v∂u∂ydx√(𝐝𝐱)𝟐+(𝐝𝐲)𝟐−u∂v∂xdy√(𝐝𝐱)𝟐+(𝐝𝐲)𝟐+u∂v∂ydx√(𝐝𝐱)𝟐+(𝐝𝐲)𝟐√(𝐝𝐱)𝟐+(𝐝𝐲)𝟐=∮v∂u∂xCdy−v∂u∂ydx−u∂v∂xdy+u∂v∂ydx=∮(u∂v∂y−v∂u∂y)dx+(v∂u∂x−u∂v∂x)dyC有Green公式有∬(∂Q∂x−∂P∂y)Ddxdy=∮Pdx+Qdy∂D；有P=(u∂v∂y−v∂u∂y)Q=(v∂u∂x−u∂v∂x)∂Q∂x=∂(v∂u∂x−u∂v∂x)∂x=∂v∂x∂u∂x+v∂2u∂x2−∂v∂x∂u∂x−u∂2v∂x2=v∂2u∂x2−u∂2v∂x2同理∂P∂x=u∂2v∂y2−v∂2u∂y2故有∬(∂Q∂x−∂P∂y)Ddxdy=∬(v∂2u∂x2−u∂2v∂x2−u∂2v∂y2+v∂2u∂y2)Ddxdy=∬v∆u−u∆vDdxdy=∬|∆u∆vuv|dxdyS1.3Green第三公式证明Green第三公式：若u为有界闭区域S中的调和函数，则有：u(x,y)=12π∮(u∂lnr∂n⃗⃗−lnr∂u∂n⃗⃗)dsC其中C为S边界，∂u∂n⃗⃗为u沿着C的外法线方向的方向导数；r=√(ξ−x)2+(η−y)2；为（x，y）到边界C上动点（ξ，η）的距离；证明：由Green第二公式得到∮(u∂lnr∂n⃗−lnr∂u∂n⃗)dsC=∬v∆u−u∆vDdxdy由于u为有界闭区域S中的调和函数，∆u=0∆v=∆lnr=∆ln√(ξ−x)2+(η−y)2=0可知lnr也是调和函数；故有在没有奇点的情况下，S内的任何区域∮(u∂lnr∂n⃗−lnr∂u∂n⃗)dsC=∬u∆v−v∆uDdxdy=0故有设以(x，y)为中心，t为半径的一个领域D，∮(u∂lnr∂n⃗−lnr∂u∂n⃗)dsC=∮(u∂lnr∂n⃗−lnr∂u∂n⃗)ds∂D有在∂D上，∮lnr∂u∂n⃗ds∂D=lnt∮∂u∂n⃗ds∂D=lnt∬∆udsD=0∮u∂lnr∂n⃗ds∂D=∮u∂lnr∂rds∂D=∮u1tds∂D=1t∮uds∂D=2πu(ξ1，η1)故由u在S上的连续性得到limt→0∮(u∂lnr∂n⃗−lnr∂u∂n⃗)ds=Climt→02πu(ξ1，η1)=2πu(x，y)故得证u(x,y)=12π∮(u∂lnr∂n⃗−lnr∂u∂n⃗)dsC第二十二章各种积分间的联系与场论初步下面的图表给出了各种积分间的联系，在计算中可以根据这些关系，将一种积分转化为另一种积分。格林公式斯托克司公式n高斯公式例1设L为平面上封闭曲线，l为平面上任意方向，n是L的外法线方向。证明yLdsln0),cos(x证明)},cos(),,{cos(ynxnn，)},cos(),,{cos(yx因为),(),(yxn，),(),(),(xxyn则),cos(),cos(yxn，),cos(),cos(xynlnln),cos()},cos(),,{cos(ynxn)},cos(),,{cos(ylxl)},cos(),,{cos(xy)},cos(),,{cos(ylxl),cos(),cos()},cos(),cos(yxlxyl00),cos(),cos(),cos(DLLdxdydyxldxyldsln注1此例给出了平面上闭曲线切线正向和外法线矢量的关系：（这个结果在7、8、12题都要用到）),cos(),cos(yxn，),cos(),cos(xyn注2利用这个关系，可得格林公式的另一种形式：DLdxdyyQxPdsynQxnP][)],cos(),cos([或（用外法向矢量）LdsnQP},{DdxdyyQxP][第一型曲线积分三重积分二重积分第一型曲面积分第二型曲线积分第二型曲面积分试比较（用正向的切线矢量）DLLdxdyyPxQdsQPQdyPdx][},{事实上LdsynQxnP)],cos(),cos([LdsxQyP)],cos(),cos([DLdxdyyQxPPdyQdx][注3我们已经知道，格林公式是斯托克司公式当L是平行于Oxy坐标面的平面曲线时的特殊情形。而从格林公式的上述形式可以看出，格林公式也可作为高斯公式的特殊情形。在高斯公式中，设),(),,(),,(yxRyxQyxP不依赖于z。考虑平行于z轴的单位高柱体的边界曲面S的外侧，它在Oxy面的投影为曲线L。记柱面的上底面为1S，下底面为2S，侧面为3S，则SRdxdyQdzdxPdydz321)(SSSRdxdyQdzdxPdydz321),(),(SSSQdzdxPdydzdxdyyxRdxdyyxR3),(),(SdzdxyxQdydzyxPdcdcdyyyxPdzdyyyxPdz110110)),(()),((babadxxyxQdzdxxyxQdz210110))(,())(,(babadcdcdxxyxQdxxyxQdyyyxPdyyyxP2111))(,())(,()),(()),((LdxyxQdyyxP),(),(LdsynQxnP)],cos(),cos([又dzdxdyzRyQxPV][DdxdyyQxPdz10][DdxdyyQxP][即DLdxdyyQxPdsynQxnP][)],cos(),cos([例2设),(),,(yxvyxu具有二阶连续偏导数，证明（1）2222][dxdyyuxudsnuL（2）Ldsnuvdxdyyvyuxvxuudxdyv][其中2222yuxuu，为闭曲线L所围的平面区域，nu为),(yxu沿L外法线方向n的导数。证（1）在格林公式的等价形式中令yuQxuP,得，2222][)],cos(),cos([dxdyyuxudsynyuxnxuL即2222][dxdyyuxudsnuL（2）dsnuvLdsynyuxnxuvL)],cos(),cos([dxdyyuvyxuvx)]()([dxdyyvyuxvxuudxdyv][注4在式中令1v，则（2）即化为（1）。注5设222222zuyuxuu，S为空间立体V的边界，nu为),(yxu沿S外法线方向n的导数，则有格林第一公式：SVVdSnuvzgradvdxdydgraduudxdydzv格林第二公式：SVdSvunvnudxdydzvuvu[12/394]题的（2）（3）分别是格林第一和第二公式的低维情形，在格林第一公式中令uv即得[13（2）/394]。例3用斯托克司公式计算下列积分(a)Ldzyxdyzxdxzy)()()(222222(b)L是曲线Rxzyx2222，)0,0(222zRrrxyx，它的方向与所围曲面的上侧构成右手法则。解S是曲面)0(2222zRxzyx上L所围部分的上侧。它关于zx平面对称，在xy平面的投影是rxyxDxy2:22。Ldzyxdyzxdxzy)()()(222222Syxzxzyzyxdxdydzdxdydz222222（斯托克司公式）Sdxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(2Sdxdyyxdydzzy)()(2（Sdzdxxz0)(2，对称性）SRdSzyRxyxzy},,{},0,{2（两类曲面积分的关系）dSzyxRxzyRS])())([(2dSRzRS2（0])([dSyzRxyS，对称性）SSdSRdSRzRcos222222rRdxdyRdxdyRxyDS（两类曲面积分的关系，几何意义）注6这题很巧妙，是一道综合性很强的题，用到的知识有：1、斯托克司公式2、两类曲面积分的关系，曲面的法向矢量3、对称性4、几何意义例4证明高斯积分Ldsrnr0),cos(其中L是平面上一单连通区域的边界，而r是L上一点到外某一定点的距离，n是L的外法线方向。又若r表示L上一点到内某一定点的距离，则这个积分之值等于2。解（1）设外某一定点),(，则},{yxr，222)()(yxrLLdsrnrdsrnr2),cos(=Ldsrynyxnx2),cos()(),cos()(Ldsrxyyx2),cos()(),cos()(Lrdyxdxy2)()(rxxr，ryyr422422)(2)(2)(rxrrxrxrrrxx4222)(2)(ryrryy注意),(是外某一定点，故)(2rxx和)(2ryy在内处处连续，由格林公式得Ldsrnr),cos(Lrdyxdxy2)()()([2rxxdxdyryy)](20