D5-5多元向量值函数的导数与微分

目录上页下页返回结束第五章第五节5.1一元向量值函数的导数与微分多元向量值函数的导数和微分5.2二元向量值函数的导数与微分5.3微分运算法则5.4由方程组所确定的隐函数的微分法目录上页下页返回结束5.1一元向量值函数的导数与微分设有一元向量值函数f:其中)()()()(21xfxfxfxmf.)(均为一元数量值函数而xfi目录上页下页返回结束定义5.1设f:),(00xUxx若存在，则称f在x0处可导，并称此极限值为f在x0处的导数，记为),(0'xf或,0xxdxdf或),(0xDf即xxxxxx)()(lim)(0000'fffxxxxx)()(lim000ff目录上页下页返回结束向量值函数),,,(21mffff在x0可导的充要条件是f的每个分量fi(i=1,2,…,m)都在x0处可导.)75())(,),(),('()(0'0'2010'.xfxfxfxmf如果f在区间I中的每一点都可导，则称f在I上可导.f在x0处的二阶导数00)()()()(22020''xxxxdxxddxddxxdxDxffff且有目录上页下页返回结束)95())(,),(),(()(0''0''20''10''.xfxfxfxmf类似可定义f在x0处的n阶导数为0))(()(10xxnnxDDxDff当m=3时，一元向量值函数的导数有物理意义：)()(tttrrr则时刻空间位置的向径，表示质点在若用.3中运动的方程表示质点在空间R),,()(dtdzdtdydtdxdtdtrv则质点的速度向量为),,()(22222222dtzddtyddtxddtddtdtrva质点的加速度向量为目录上页下页返回结束设有向量值函数22arctan)1ln(2sin)(xxxxxf试求).0()(),(''''''fff及xx解：由（5.7）、（5.9）式，分别得4212112cos2)(xxxxx'f2442'')1()31(2)1(2sin4)(23xxxxxxf200)()0(0''''xxff例5.1目录上页下页返回结束定义5.2mxURRf)(:0设是一个一元向量值函数，),(00xUxx若存在一个与x无关的m维列向量,),,,(21maaaa使aff)11.5()()()(00,xxxx其中的高阶无穷小向量)(,x是关于.)(,)(00xxdxdaff即记作处的微分，在为处可微，并称在则称00xxxfaf目录上页下页返回结束处可微的在向量值函数00)(:xxUmRRf维）（处可微，记高阶无穷小在证：设向量值函数mx0f充要条件是f的每个分量fi(i=1,2,…,m)都在x0处可微.且当f在x0处可微时.有.))(0'0xxxd（ff式两端比较向量)11.5(,))(,),(),(()(21个分量，可得的第i定理5.1,,,,2,1)()()(00xmi,xaxfxxfiiii目录上页下页返回结束的每个数可微的定义，及知于是根据一元数量值函f处可微，且有都在分量0),,2,1(xmifi,,2,1),(0'mixfaii为向量从而得可微性定义中的a)()(0'0'11xfxfaamma目录上页下页返回结束xxxxfxfxxdm))()()(0'0'0'10（faf所以)()()()()(0010'0'10xdfxdfxxfxxfxdmmf或目录上页下页返回结束处的微分可以表示为在则向量值函数若记0,xxdxf.))(0'0dxxxd（ff处在处的可微性与在一元向量值函数00xxff.的可导性是等价的结论：..0处可微在故来也成立易见上述推理过程反过xf处可微，都在的每个分量反之，若0),,2,1(xmifif目录上页下页返回结束5.2二元向量值函数的导数与微分设有二元向量值函数f:其中)15.5(),(),(),(),(2121221121fxxfxxfxxfxxm.),2,1(),(21均为二元数量值函数而mixxfi目录上页下页返回结束，数式定义的二元向量值函对于由f)15.5(,0处的可微（或可导）在则称xf),(02010xxfixf（数量值函数）都在的每个分量如果可微，处2R2201102202110222011101002010)()()()()()()()()()(dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdfdfdfdmmmxxxxxxxxxxf定义5.3称目录上页下页返回结束212020220110102101)()()()()()(dxdxxfxfxfxfxfxfmmxxxxxx矩阵称2m处的在为0xf微分，目录上页下页返回结束)()()()()()()(02020220110102101矩阵处的在acobifxxxxxxJxxfxfxfxfxfxfAmm处的导数为在即处的导数，记为在为000,)(xfxfxfD.xxf)2,1;,2,1()(,)()(020jmixfaaDjiijmij其中目录上页下页返回结束处的微分可表示为在0xf)),(()()(2100dxdxddDdxxxfxf例5.2设有二元向量值函数xyyxyx2),(22f.)1,1(处的导数与微分在点试求f则设,xyyxfyxyxf2,,,2221解：目录上页下页返回结束xyyxyyxfxyxfyyxfxyxfyxD2222),(),(),(),(),(2211f所以AD2222)1,1(fdydxdydxdydxAd2)1,1(f目录上页下页返回结束一般地，对于n元向量值函数f:处可微，都在的每个分量如果0),2,1(xfmifiacobixf为矩阵处的导数在则定义)(0JnmmmnnxfxfxfxfxfxfxfxfxfD)()()()()()()()()()(0201002202102012011010xxxxxxxxxxf目录上页下页返回结束)205()()()(00201.xxxmfff处的梯度向量，在点元数量值函数为其中00)(xxiifnf处的微分为在点0xf)()()()(002010xxxxfmdfdfdfd目录上页下页返回结束nnmmmnndxdxdxxfxfxfxfxfxfxfxfxf21020100220210201201101)()()()()()()()()(xxxxxxxxx).),,(()(,210ndxdxdxddxxxDf目录上页下页返回结束向量值函数的偏导数存在，若极限xfexfiiixxxi)()(lim000的偏导数，个分量的第处关于在则称此极限为)(0xxfixinii,2,1,)0,,0,1,0,,0(e其中目录上页下页返回结束处在的每个分量0),2,1(xfmjfj的偏导数存在的处关于在元向量值函数ixn0xf充要条件是：的偏导数存在，关于ix