圆锥曲线易错点分析

1圆锥曲线易错点分析(广东省陆丰市启恩中学林敏燕516500)圆锥曲线是高中数学的重要内容，在每年的高考中都占有较大的比例，然而其中也有许多知识点容易搞混或用错，本文将一些常见的错误分类展示出来，希望同学们在高三复习时引起重视.1概念不清在历年的高考试题中,考查圆锥曲线的概念是一个必考点.圆锥曲线的定义,圆锥曲线的焦点坐标,准线方程,离心率,焦距等等,这些是要记忆的知识点,不能混淆.例1已知双曲线2239xy，则双曲线右支上的点P到右准线的距离与点P到右焦点的距离之比等于A.2B.22C.2D.12解析：依题意可知3293,322baca，2332ace，故选C.例1已知圆1:221yxO，圆:2O091022xyx都内切于动圆，试求动圆圆心的轨迹方程。错解：圆O2：091022xyx即为16)5(22yx所以圆O2的圆心为)0,5(2O,半径42r,而圆1:221yxO的圆心为)0,0(1O,半径11r,设所求动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r则1||1MOr且4||2MOr所以3||||21MOMO即3)5(2222yxyx化简得0649801622yxx即1449)25(22yx为所求动圆圆心的轨迹方程。2点评：上述解法将||||21MOMO=3看成3||||||21MOMO,误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致。事实上，|3|||21MOMO表示动点M到定点1O及2O的距离差为一常数3。且35||21OO,点M的轨迹为双曲线右支，方程为)4(1449)25(22xyx例2、已知双曲线的一条准线方程为x=2,其相应的焦点为(8,0)，离心率为32，求双曲线的方程。错解：由48,16:,8,2222bacca得,于是可求得双曲线的方程为1481622yx。点评：看起来问题已经解决，然而离心率这个条件似乎多余，而根据求得的方程又得不到离心率为32。错误是显然的，那么问题在哪里呢？其实问题就在于此方程并不是标准方程，而我们把它当作了标准方程。正确的做法是利用双曲线的第二定义来求出方程（下略）。由此看来，判断准方程的类型是个关键。2忽略范围例3、已知曲线C：2202xy与直线L：mxy仅有一个公共点，求m的范围。错解：曲线C：2202xy可化为20422yx（1），联立20422yxmxy得：02048522mmxx，由Δ＝0,得5m。分析：方程（1）与原方程并不等价，应加上,0y。故原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分。（如图），结合图形易求得m的范围为52525mm或。点评：在将方程变形时应时时注意范围的变化，这样才不会出错。数形结合是解题的关键.yxo3例4、双曲线x29-y216=1上有一点P到左准线的距离为165,则P到右焦点的距离为。错解：设F1、F2分别为由双曲线的左、右焦点，则由双曲线的方程为x29-y216=1，易求得a=3,c=5,从而离心率e＝53,再由第二定义，易求|PF1|=ed1＝31651635，于是又由第一定义6212aPFPF，得|PF2|=3166。点评：以上出现两解的原因是考虑到P可能在不同的两支上。而事实上P若在右支上，则其到F1的最短距离应为右顶点A2到F1的距离|A2F1|＝a+c＝8，而8316，故点P只能在左支，于是|PF2|=3343166。小结：一般地，若|PF1|≥a+c,则P可能在两支上，若|PF1|a+c,则P只能在一支上。3考虑不周例5、过点(0,1)作直线，使它与抛物线xy42仅有一个公共点，这样的直线有A.1条B.2条C.3条D.0条错解：设直线的方程为1kxy，联立142kxyxy，得xkx412，即：01)42(22xkxk，再由Δ＝0,得k=1,得答案A.点评：本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k=0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条。例6、设双曲线的渐近线为：xy23，求其离心率。错解：由双曲线的渐近线为：xy23，可得：23ab，从而213122abace点评：由双曲线的渐近线为xy23是不能确定焦点的位置在x轴上的，当焦点的位置在y轴上时，32ab，故本题应有两解，即：213122abace或313。F1F2xyP44忽略隐藏条件例7、已知双曲线1222yx，过P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且P为AB中点。错解：（1）过点P且与x轴垂直的直线显然不符合要求。（2）设过P的直线方程为)1(1xky，代入1222yx并整理得：02)1()1(2)2(222kxkkxk∴2212)1(2kkkxx，又∵221xx∴22)1(22kkk解之得：k=2，故直线方程为：y=2x-1,即直线是存在的。点评：本题的问题在于没有考虑隐含条件“Δ0”，当k=2时代入方程可知Δ0，故这样的直线不存在。使用一元二次方程的根与系数的关系必需要注意检验根的判别式0是否成立。例7、直线L：)5(xky与圆O：1622yx相交于A、B两点，当k变动时，弦AB的中点M的轨迹方程。错解：易知直线恒过定点P（5,0），再由APOM，得：222MPOMOP∴25)5(2222yxyx，整理得：4252522yx点评：求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性。本题中注意到点M应在圆内，故易求得轨迹为圆内的部分，此时5160x。例8、设点P(x,y)在椭圆4422yx上，求yx的最大、最小值。错解：因4422yx∴442x，得：11x，同理得：22y，故33yx∴最大、最小值分别为3,-3.点评：本题中x、y除了分别满足以上条件外，还受制约条件4422yx的约束。当x=1时,y此时取不到最大值2,故x+y的最大值不为3。其实本题只需令sin2,cosyx，则)sin(5sin2cosyx，故其最大值为5，yx5最小值为5。综上所述,在解圆锥曲线的试题时,同学们一定要注意做到概念清晰,考虑周全,思路明确,解题后进行反思,就可以避免出现上述的这些错误.