几何问题之中点题型

——几何问题之中点题型1.掌握三角形的内角和定理；2.了解三角形三边的关系，并且能进行简单的应用；3.学习用三角形边、角的关系进行简单的计算和证明；4.学习分析问题、解决问题的能力。知识结构知识结构一.中点有关联想归类：1.等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2.直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3.三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5.有中点时常构造垂直平分线；6.有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7.倍长中线。二.与中点问题有关的四大辅助线：1.出现三角形的中线时，可以延长（简称“倍长中线”）；2.出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线；3.出现三角形边上的中点，作中位线；4.出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一”。三.几何证明之辅助线构造技巧：1.假如作一条辅助线，能起到什么作用；2.常作那些辅助线能与已知条件联系更紧密，且不破坏已知条件。模块一、出现三角形的中线，可以延长一、基础回顾1.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。2.若点C是线段AB的中点，则：①从线段来看：12ACBCAB；②从点与点的相对位置来看：点C在点AB、之间，且点AB、关于点C对称。3.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点所得的线段叫做三角形的中线。①一个三角形有三条中线；②每条中线平分三角形的面积；③三角形的三条中线交于一点，每条中线被该点（重心）分成1:2的两段；④三角形的三条中线把三角形分成六个面积相等的小三角形。二、如何延长三角形的中线1.延长1倍的中线：如图，线段AD是ABC的中线，延长线段AD至E，使DEAD（即延长1倍的中线），再连接BECE、。①总的来说，就可以得到一个平行四边形ABCD和两对（中心选转型）全等三角形ABDECD、ACDEBD，且每对全等三角形都关于点D中心对称；②详细地说，就是可以转移角：BADCED，CADBED，ABDECD，ACDEBD，ADBECD，ADCEDB；可以移边：，ACEB；可以构造平行线：AB∥EC，AC∥EB；可以构造边长与AB、AC、AD有关的三角形：ABE、ACE。（1）延k长倍的中线：（0k且1k）如左（右）下图，点E为ABC中线AD（DA延长线）上的点，延长AD至F，使EDFD，连接BE、CE、BF、CF.在平行四边形BFCE中就可以得到类似（1）中的结论。注意：通常在已知条件或结论中测及到与BE、CE有关的边与角时，会用这种辅助线.整体做题思路：全等三角形中线倍长利用性质解决问题平行四边形例1.如图，ABC中，ABAC，AD是中线.求证：DACDAB。ABCED【证明】：延长AD到点E使得ADDE，联结CE∵AD是ABC中线∴BDCD在ADB和EDC中:∵ADDEADBEDCBDCD；∴ADB≌EDC∴ABCE，DABE又∵ABAC∴CEAC∴DACE∴DACDAB►点评：1.比较角度大小，常用两个方法：一是利用三角形的角度关系，将其中一个角表示为另外一个角加上第三个角；二是利同一三角形中大边对大角进行比较大小；2.倍长中线是常用构造辅助线方法，并再结合同一三角形中大边对大角。例2.如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于F.求证：AFEF。ABCHDEF【证明】：延长ED到点H使得EDDH，联结CH∵AD是ABC中线∴BDCD在EDB和CDH中:∵DEDHEDBCDHBDCD；∴EDB≌CDH∴CHBE，BEDH又∵BEAC∴CHAC∴CADH∴AEFDEBHCAD∴AEFCAD∴AFEF例3.已知ABC中，12AB，30AC，求BC边上的中线AD的范围。ABCED【解答】：延长AD到点E使得ADDE，联结CE∵AD是ABC中线∴BDCD和EDC中:∵ADDEADBEDCBDCD；∴ADB≌EDC∴ABCE∴在AEC中，由两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，可得：∴ACABAEACAB∴18242AD∴921AD►点评：求线段的范围，一般利用三角形中“两边之和大于第三边、两边之差小于第三边”。模块二、斜边中线与中位线一、出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线1.如图，在RtABC中，90ACB，直角ACB所对的边AB称为RtABC的斜边，由ACBBCA，过点C作CD交AB于点D，且DACACD。DACACD，ADCD.90ACB，90BACABC，又90ACDBCD，BCDABC，BDCD，BDCDAD，2.发现线段CD为斜边AB上的中线，且等于斜边的一半。3.作斜边中线，可以构造出等腰三角形，从而得到相等的边、相等的角。4.通常在知道直角三角形斜边的中点的情况下，想到作斜边中线这条辅助线。二、出现三角形边上的中点，作中位线1.中位线：连接三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线；也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线；以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质.中位线的性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；3.中位线辅助线能起到的作用：①在线段大小关系上，三角形的中位线是三角形第三边的一半，起着传递线段长度的功能.②在位置上，三角形的中位线平行三角形的第三边，起着角的位置转移和计算角的的功能.4.通常在以下两种情况下，会作中位线辅助线：①有两个（或两个以上）的中点时；②有一边中点，并且已知或求证中涉及到线段的倍分关系时。熟悉以下两个图形：例4.如图，在四边形ABCD中，ABCD，点E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：BGECHE。【证明】：证法一：如图1：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，则ME是BCD的中位线，∴ME12CD，∴MEFCHE由MF是ABD的中位线，∴MF12AB，∴MFEBGE，∵ABCD，∴MEMF，∴MEFMFE，从而BGECHE。（证法二：如图2，延长GE到K,使EKEH，连结BK（略）。或者延长GE到K,使EKGE，连结CK也行。（其余方法略））图1FGBCHEADM图2FGBCHkEAD已知：如图，ABC中，ABAC，在AB上取点D，在AC延长线上取点E，连结DE交BC于点F，若F是DE中点，求证：BDCE。FABCED【分析】：要证的BD，CE不在同一个三角形中，而它们所在的三角形又不是同类三角形，无法证明它们全等，由于F是DE的中点，想到利用中点构造中心对称图形或中位线来移动BD或CE的位置，把它们集中到同一个三角形中或把不同类三角形转化为同类三角形，使问题得以解决。【证明】：方法一：如图2，过D作DMCE∥交BC于M，易证DMFECF≌,再证BDDM。方法二：如图3，过E作EGAB∥交BC的延长线于G。易证BDFGEF≌,再证：ECEG。方法三：如图4,在AC上取点H,使CHCE,连结DH。则CF为EDH的中位线。再证：BDCH。方法四:如图5，在AB的延长线上取点N，使BNBD，连结NE。则FB为DNE的中位线.再证BNCE。方法五:如图6,连结BE,取BE的中点K，取BC的中点M,连结MK、KF。则MK、KF分别为中位线。再证KMKF，得BDCE。方法六:如图7,连结CD,取CD的中点H，取BC的中点I，连结HI、HF。则HI、HF分别为中位线。再证HIHF,得BDCE。图4FABCEDH图2FABCEDM图3ABCEGDF已知如图，ABC中，D是BC边的中点，E是AD边的中点，连结BE并延长交AC于点F。求证：2FCAF。【证明】：如图1，过点D做DGBF∥，交AC于G∵D是BC边的中点，DGBF∥∴FGGC。同理，AFFG∴22AFFGFGGCFC即2FCAF例7.如图1-1，已知RtABC中，ABAC，在RtADE中，ADDE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1-1，求证：BMDM且BMDM；（2）将图1-1中的ADE绕点A逆时针转小于45的角，如图1-2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。【分析】：图1-1中由于点M为直角三角形斜边EC的中点，显然要利用斜边中线的性质求解.图1-2中尽管ADE绕点A进行了旋转，但M为EC的中点的条件依然未变，于是仍然图5FABCENDFABCEDKM图6ABCEDFHI图7图1-1图1-2可以利用中点还原出中心对称基本图形，使问题得解；另一方面，由于旋转之后直角仍然存在，于是仍可以利用斜边中线及中位线来解决。【证明】:（1）如图2，在RtABC和RtADE中，∵M为公共斜边EC的中点,∴12DMECBM∴32，65∵12322，45625∴142(25)90∴BMDM且BMDM（2）成立。方法一：如图3：延长DM至F，使MFDM，连结CF，BF，延长ED交AC于N易证：EMDCMF≌∴DEMFCM∴ENFC∥∴25455ACB∵290190()45BAC∴5∵ABBC,ADDECF∴BADBCF≌∴BDBF，ABDCBF∴90DBFABC∵BDBF∴BDF为等腰直角三角形∵MFDM∴BMDM且BMDM方法二:如图4，取AC的中点F，取AE的中点G，连结MF，BF，MG，DG∴MF,MG为中位线∴MF12AE,MG12AC54231NFMEBACD图3图2∵DG为斜边中线∴12DGAE∴DGMF。同理，12GMACBF∴MFAG∴四边形AFMG为平行四边形.∴1234，1490∴23∴DGMMFB≌∴BMDM,GMDMBF∴90GMDBMGMBFBMG∴BMDM且BMDM1.如图1，在ABC中，5ABAC，6BC，点M为BC中点，MNAC于点N，则MN等于（）A．65B．95C．125D．1652.如图，ABC中，=90A，D为斜边BC的中点，E、F分别为AB、AC上的点，且DEDF，若3BE，4CF，试求EF的长。图4如图，在ABC中，ABAC＞，E为BC边的中点，AD为BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G。求证：BFCGF