专题三：勾股定理

专题三：勾股定理一、知识梳理1．勾股定理：直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有：————————————.这就是勾股定理．注意：找准斜边、直角边；二要熟悉公式的变形：22222222,,bacacbbca,2222,acbbca．勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．2.勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”◆热身训练1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_____________．2.(达州)图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．13B．26C．47D．943、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有。4.（青岛市）如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，从顶点A到顶点C’的最短距离是__________．5.直角三角形的两条直角边分别是5cm,12cm,其斜边上的高是__________．二、考点剖析考点一、已知两边求第三边例1．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．求①AD的长；②ΔABC的面积．练习一1．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长________________．2.（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中4AB米，30BAC°，90C°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．3．在数轴上作出表示10的点．BCA30°CBADEF4．三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8:求BC考点二、利用列方程求线段的长例2．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？练习二1、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？2．把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．3．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长是（）．A．3B．4C．5D．54．如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．考点三、判别一个三角形是否是直角三角形例3、已知如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求这个四边形的面积练习三FEDCBAADEBC_A_B_C_D1.若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2(ab0),则这个三角形是。2、若一个三角形的周长123cm,一边长为33cm,其他两边之差为3cm,则这个三角形是。3．若△ABC的三个外角的度数之比为3：4：5，最大边AB与最小边BC的关系是_________．4．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是()．A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不是直角三角形5．下列命题中是假命题的是()．A．△ABC中,若∠B=∠C－∠A,则△ABC是直角三角形.B．△ABC中,若a2=(b+c)(b－c),则△ABC是直角三角形.C．△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5则△ABC是直角三角形.D．△ABC中,若a∶b∶c=5∶4∶3则△ABC是直角三角形.6．在△ABC中，2:1:1::cba，那么△ABC是（）．A．等腰三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形7．如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且BCCE41．你能说明∠AFE是直角吗？考点四、与展开图有关的计算例4、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行cm如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?考点五、开放型试题2．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.5m13m第11题图ABABCEFH第12题图3．图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm，则正方形1的边长为__________cm.三、迎考精炼1．已知△ABC中，∠A=2∠B=3∠C，则它的三条边之比为（）．A．1：1：2B．1：3：2C．1：2：2D．1：4：12．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）．A．B．3C．D．3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）．A．6，7，8B．5，6，7C．4，5，6D．3，4，54．下列各命题的逆命题成立的是（）A．全等三角形的对应角相等B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C．两直线平行，同位角相等D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等5．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）．A．3cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm26．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（）．7．（长沙）如图，等腰ABC△中，ABAC，AD是底边上的高，若5cm6cmABBC，，则ADcm．8.（年宜宾）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为．9．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）A．50cmB．100cmC．140cmD．80cm10、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．11．一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶＿＿＿m．12.（内江市)已知Rt△ABC的周长是344，斜边上的中线长是2，则S△ABC＝ECDBA____________13．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．14．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？请你试一试．15．在△ABC中，三条边的长分别为a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1，且n为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角？与同伴一起研究．16：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？17．在直角ΔABC中，斜边长为2，周长为2+6，求ΔABC的面积．18．已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)．19．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？CBADE8m图3