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第十五章三角形与多边形考情分析高频考点考查频率所占分值1.三角形的三边关系★★3～5分2.三角形的内角和★★★3.三角形外角的性质及推论★4.三角形中的角平分线、中线、高线的性质★5.多边形的内角和公式★★6.多边形的外角和★7.多边形的对角线条数★知能图谱180360定义及有关概念中线三角形中的三种重要线段高角平分线不等边三角形按边分等边三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形三角形的分类直角三角形三角形按角分锐角三角形平钝角三角形面任意两边之和大于第三边图三角形的三边关系任意两边之差小于第三边形内角和为三角形的角之间的关系外角和内角的关系外角和为三角形的稳定性322180360nnnn对角线的总条数：边形的内角和：多边形多边形的外角和：第34讲三角形的有关概念知识能力解读知能截图（一）三角形及其相关概念（1）定义：由不在同一条直线上的三条线段收尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.（2）相关概念：如图所示，线段,,ABBCCA是三角形的边.点,,ABC是三角形的顶点，,,ABC是相邻两边组成的角，叫作三角形的内角，简称三角形的角.cbaCBA（3）表示方法：顶点是,,ABC的三角形，记作ABC，读作“三角形ABC.”（4）三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.知能解读（二）三角形的分类（1）按角分：锐角三角形斜三角形三角形钝角三角形直角三角形（2）按边分：三边都不相等的三角形底边和腰都不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形注意不能把等边三角形算作是单独的一类，等腰三角形包括等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形.知能解读（三）三角形中的重要线段1三角形的角平分线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线.2三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线.三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点，叫作三角形的重心.3三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫作三角形的高.注意（1）三角形中，角平分线、中线以及高都有三条，且分别都交于一点.（2）这三种线都是线段.（3）一个三角形中，①三条角平分线都在三角形内；②三条中线也都在三角形内；③三条高的位置：a.锐角三角形的三条高都在三角形内；b.直角三角形有两条高为直角边，斜边上的高在三角形内；c.钝角三角形有一条高在三角形内，另两条高在三角形外.知能解读（四）三角形的三边关系（1）三角形的和大于等三边，（2）三角形两边的差小于第三边.注意根据三角形的三边关系，只要比较两条线段的长度和大于最长线段的长度即可构成三角形.知能解读（五）三角形的稳定性如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征叫作三角形的稳定性.除了三角形外，其他多边形不具备稳定性，因此在生产建设中，为达到稳固的目的，把一些部件都做成三角形结构.知能解读（六）三角形中有关角的结论（1）三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180.（2）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.（4）直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.方法技巧归纳方法技巧（一）利用三角形中角的关系求值与证明三角形中求角的读数，涉及的知识点有三个：（1）三角形的内角和；（2）三角形的外角性质；（3）三角形的内角与相邻外角互补.点拨充分利用角平分线的性质和三角形的内外交的关系建立A与D的练习是解决问题的关键.方法技巧（二）利用三角形三边关系判断是否能构成三角形按照三角形三边关系去判断时必须满足任意两边之和大于第三边，而在实际使用时，只三角形要其中较小的两条线段长度的和能够大于第三条线段的长度，就能构成三角形.点拨三条线段能否组成三角形，可用如下方法来进行判定：设三条线段的长为,,abc，并满足abc，若abc，则线段,,abc可以组成三角形.方法技巧（三）利用三角形的三边关系确定第三边的取值范围根据三角形两边和大于第三边，两边的差小于第三边，可得第三边应小于两边的和，并且大于两边的差.点拨已知三角形的两边长，可根据三边关系确定第三边的取值范围；另两边之差的绝对值＜第三边＜另两边之和.方法技巧（四）利用三角形中线的概念证明面积相等三角形的一条中线把原三角形分成两个三角形，根据垂线的性质可得到这两个三角形等底同高，因此其面积相等，利用这一特点可以证明有关的面积关系问题.点拨三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形.方法技巧（五）利用三角形的稳定性解决实际问题把实际问题转化为三角形问题，用三角形的稳定性未解释.方法技巧（六）三角形内角和的应用技巧点拨当要求的角度列式计算很复杂时，可以通过列方程求解，体现方程思想.易混易错辨析易混易错知识1.角平分线和三角形的角平分线.区别：角平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段.2.三角形的角平分线、中线和高.区别：三角形的角平分线是一个角的平分线和对边相交所构成的线段，而高是过一个顶点向对边所在直线作的垂线段.易混易错（一）忽视三角形“三边关系”致错易混易错（二）不能准确画出钝角三角形的三条高中考试题研究中考命题规律三角形是历年中考的必考内容，考查热点是运用三角形的三边关系，内角和以及内外交之间的关系进行有关推力与计算，多以填空题、选择题的形式出现.中考试题（一）三角形内角和的应用中考试题（二）三角形中角的运算求解中考试题（三）三角形三边关系的应用第35讲多边形的内角和与外角和知识能力解读知能解读（一）多边形的有关概念1多边形的定义在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形.注意多边形根据边数的不同可分为三角形、四边形、五边形、…，我们所学的多边形都是凸多边形（整个图形都在任一边所在直线同旁的多边形），即组成多边形的每一个内角都大于0，且小于180.2正多边形各个角都相等，各条边都相等的多边形叫作正多边形，比如：等边三角形、正方形等.3相关概念（1）内角：多边形相邻两边组成的角叫作它的内角.（2）外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫作多边形的外角.（3）对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线.注意（1）一个n边形从一个顶点出发有3n条对角线，所有对角线的条数是32nn.（2）把多边形转化成三角形求解的常用方法是连接对角线.知能解读（二）多边形的内角和公式：n边形的内角和等于2180n知能解读（三）多边形的外角和等于360注意（1）多边形的外角和不随边数的变化而变化，但内角和随边数的变化而变化，且边数每增加1，内角和就增加180；（2）多边形的每一个内角都大于0，小于180；（3）多边形的外角和与边数无关.知能解读（四）平面图形的镶嵌用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫作用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.注意（1）不论用同种正多边形还是用多种正多边形镶嵌平面，都必须满足围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360.（2）用两种正多边形镶嵌，①正三角形和正方形；即一个顶点处需三个正三角形，两个正方形；②正三角形和正六边形；可以镶嵌成两种图形，一是一个顶点处有四个正三角形和一个正六边形，二是一个顶点处有两个正三角形和两个正六边形；③正三角形和正十二边形：即一个顶点处需一个正三角形和两个正十二边形；④正方形和正八边形：即一个顶点处需一个正方形和两个正八边形.方法技巧归纳方法技巧（一）利用多边形的内角和与外角和进行计算的方法n边形的内角和为2180n，利用该公式，可以求一个多边形的内角和或边数.方法技巧（二）利用多边形的外角和进行计算的方法任意多边形的外角和都是360，据此我们可以进行相关计算.点拨判断凸多边形的内角中锐角的个数一般从外角中钝角的个数入手.方法技巧（三）利用多边形的对内角线条数公式求对角线条数或求多边形边数n对边有32nn条对角线，利用这规律可以在已知多边形数时求对角线条数，也可以已知对角线条数求多边形的边数.方法技巧（四）利用镶嵌的条件判断哪些图形能进行镶嵌不论用一种多边形还是多种正多边形镶嵌地面，都必须满足周围一点拼在一起的几个多边形的内角和是360易混易错辨析易混易错知识多边形对角线条数32nn与公式12nn容易混淆.因为从n边形的每一个顶点都能引出3nn条对角线，共有n个顶点，但每条对角线都计算了两次，因此n边形的对角线共有32nn条.而我们学过的平面内n条直线相交，最多有12nn个交点；过不在同一直线上的n个点，最多有12nn条直线.易混易错（一）因对镶嵌的概念理解不透而致错易混易错（二）因把32nn与12nn混淆而致错中考试题研究中考命题规律本讲在中考中主要考查多边形的内角和与外角和及利用镶嵌的知识解决一些实际问题，另外还考查学生的动手实践能力，题型以填空题、选择题为主.中考试题（一）用多边形内角和外角和公式进行运算中考试题（二）计算多边形对角线条数