曲率及其计算公式

§3．9曲率一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径有向弧段的值、弧微分公式曲率、曲率的计算公式曲率圆曲率半径一、弧微分s的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的正向一致时s0，相反时s0．有向弧段的值s(简称为弧s)：MM0(xyOM0x0Mxs0xyOM0x0Mxs0显然，弧s是x的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函数．设x，x+Dx为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx，弧s的增量为Ds，于是下面来求s(x)的导数及微分．M0MMx0xx+DxDxDyxyODs2DDxs2DxMM(22)(||xMMD2||MMMM(222)()()(xyxDDD2||MMMM(DD21xy2||MMMM(xsDDDD221||xyMMMM(1，因为因此由于ss(x)是单调增加函数，从而于是ds这就是弧微分公式．xsDDDD221||xyMMMM(0limDx||||MMMM(MMlim||||MMMM(0limDxxyDDy，又dxds21y．dxds0,dxds21y．21ydx．)jM1M2N1N2观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：二、曲率及其计算公式可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度，M0MMDsDaxyOa+DaasC设曲线C是光滑的，曲线线C上从点M到点M的弧为Ds，切线的转角为Da．平均曲率：曲率：sKDDa我们称为弧段的平均曲率．MM）sKsDDDa0lim我们称为曲线C在点M处的曲率．在存在的条件下dsdssaaDDD0limdsdKa．曲率的计算公式：设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数．于是从而，有因为tanay，所以dsdKa．sec2adxday，dxdaa2tan1y21yy，dxdaa2tan1y21yy，da21yydx．又知ds21ydx．K232)1(||yy．例1计算等双曲线xy1在点(1，1)处的曲率．解因此，y|x11，y|x12．曲线xy1在点(1，1)处的曲率为x1由y，得y21x，y32x．y21x，y32x．K232)1(||yy232))1(1(22221．K232)1(||yy232))1(1(22221．K232)1(||yy232))1(1(22221．K232)1(||yy．例2抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？解由yax2bxc，得y2axb，y2a，代入曲率公式，得要使K最大，只须2axb0，抛物线的顶点．因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为K|2a|．K232)1(||yy．K232)1(||yy．232])2(1[|2|baxa即xab2．而xab2对应的点为2．若曲线由参数方程给出，那么曲率如何计算？1．直线上任一点的曲率等于什么？讨论：提示：设直线方程为y=ax+b，则y=a，y=0．于是)()(tytxj.0)1(||232yyK提示：2322)]()([|)()()()(|ttttttKjjj．曲线在点M处的曲率K(K0)与曲线在点M处的曲率半径r有如下关系：曲线在M点的曲率中心三、曲率圆与曲率半径My=f(x)xyODr曲线在M点的曲率半径曲线在M点的曲率圆rK1，Kr1．|DM|K1r例3设工件表面的截线为抛物线y0．4x2．现在要用砂轮磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？42O2xyy=0．4x2解砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径．例3设工件表面的截线为抛物线y0．4x2．现在要用砂轮磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？y0．8x，y0．8，y|x00，y|x00．8．抛物线顶点处的曲率半径为所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过2．50单位长．0．8．把它们代入曲率公式，得K232)1(||yy232))1(1(22221．rK11．25．