不完全信息博弈的第一价格拍卖

独立私有价值拍卖讨论具有不完全信息的第一价格拍卖和第二价格拍卖，其中最典型的一类不完全信息的拍卖形式就是独立私有价值拍卖（individualprivatevalueauction）。独立私有价值拍卖是指这样一种拍卖形式：买主只知道他们自己对拍卖品的评价。但对其他买主的评价却并不清楚。下面我们将详细讨论只有两个买主的独立私有价值拍卖，并且假设每个买主使用线性的出价策略。在密封投标的第一价格的独立私有价值拍卖中，假设每个买主对拍卖品的评价为，并且出价最高的买主按照他的出价赢得拍卖品。如果两个买主的出价相同，则通过抽签的办法最终确定由谁赢得拍卖品。因此，如前所述，买主们的支付函数分别为：iiv⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−−=2121112111211bb,0bb,2bb,),(如果如果如果bvbvbbu和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−−=1212221222212bb,0bb,2bb,),(如果如果如果bvbvbbu正如在前一节中所提到的那样，我们假定，如果买主们的出价相同，则通过抛硬币的方法确定最终由谁赢得拍卖品，因此每个买主赢得拍卖品的概率都是1/2。在这种情形下，每个买主的上述效用等于参与拍卖的期望支付。与上一节不同的是，买主并不清楚另外一个买主对拍卖品的真实评价。但是尽管如此，每个买主对另一个买主的真实评价还是具有一个信念（估计）的。由于买主i不清楚买主j对拍卖品的真实评价，因而他必须把看作一个随机变量。这意味着买主对买主jvjvij的真实评价的信念，可以表达为一个分布函数。也就是说，买主把看作一个具有分布函数的随机变量。因此，买主相信，事件jviFijviFivvi≤发生的概率为)()(vFvvPiji=≤这是一个博弈，每个买主在推测了其他买主的出价行为后，才决定自己的最优出价。很自然地，买主们的出价和应当是他们各自对拍卖品的评价和的函数，即，。1b2b1v2v)(111vbb=)(222vbb=由于缺少对另一个买主的信息，因而每个买主的最优策略是选择一个能最大化期望支付1的出价。每个买主的期望支付分别是：),()(),()(),()(),(211211211211211211211bbubbPbbubbPbbubbPbbE+=+==)()(21)()(2111121111bbPbvbbPbv=−+−)()(21)()(),(1222212222212bbPbvbbPbvbbE=−+−=从上述分析可以看出，每个买主的策略，例如说买主1，就是出价函数，而他的目标就是在给定第二个买主的出价函数)(11vb)(222vbb=的条件下最大化他的期望支付。因此，买主1的期望支付函数可写为：)()(21)()()(2111121111211bbPbvbbPbvbbEu=−+−=；同样，买主2的期望支付函数可写为：)()(21)()()(1222212222122bbPbvbbPbvbbEu=−+−=。下面我们讨论该博弈的纳什均衡。如果对于买主1的每一个出价函数，我们都有)(11vb)**()*(211211bbEubbEu≤，对于买主2的每一个出价函数，我们都有：)(22vb)**()*(122122bbEubbEu≤则我们说出价函数对构成独立私有价值拍卖的纳什均衡。容易验证，这种说法符合我们前面一再强调的纳什均衡的定义。))(*),(*(2211vbvb下面我们通过一个特殊的例子来说明如何求解独立私有价值拍卖的纳什均衡。假定两个买主都知道对方对拍卖品的评价位于区间内],[vv，其中0≥vv。我们进一步假定每一个买主知道另一个买主的私人评价服从区间],[vv上的均匀分布（uniformdistribution）。也就是说，买主i只知道买主j对拍卖品的真实评价是一个随机变量，它的密度函数为：jv)(vfi2⎪⎩⎪⎨⎧−=，其他情况如果0vvv,1)(vvvfi换句话说，买主i认为的概率为：vvj≤∫∞−⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤−−==≤vijivv,1vvv,vvvvvv,0dt)t(f)vv(P如果如果如果容易理解，下面两个作为“参与约束”的“理性”条件必须得到满足，否则参与人不会参加拍卖：vvb≤)(1，vvb≤)(2由于每个买主所拥有的关于对方对拍卖品的私人评价方面的信息是对称的，所以每个买主在选择最优策略过程中所进行的推理在本质上是相同的。由此我们可得到如下结论：结论8.1假定在一个两买主的独立私有价值拍卖中，每个买主的评价都是一个随机变量，并且都服从区间],[vv上的均匀分布，则线性出价规则对：1112121)(vvvb+=和2222121)(vvvb+=构成一个对称的纳什均衡。接下来我们要证明，线性的出价规则对1112121)(*vvvb+=和2222121)(*vvvb+=构成这个独立私有价值拍卖的对称的纳什均衡。按照博弈论的语言，如果每个参与人在均衡时使用相同的策略，我们就称这个均衡为对称的纳什均衡。由于对称性，我们只要分析买主1的情形就足够了。我们首先计算买主1赢得拍卖品的概率。对于买主1来说，是一个服从区间2v],[vv上的均匀分布的随机变量。})2121:({*)(2121211vvbvPbbP+=3例8.1假定有两个买主参与一幅油画的拍卖。两个买主都知道，油画的价值大约介于10万元到50万元之间，并且每个买主对油画价值的评价服从区间[100000，500000]上的均匀分布。显然，在这种情况下100000=v，500000=v。均衡的出价规则为：2,1,5000021)(=+=ivvbiii如果买主1对油画的真实评价为20万，则他将出价1500001=b，如果买主2对油画的真实评价为25万，则他将出价1750002=b。拍卖人从这次拍卖中所得到的支付为17.5万，而买主2也将以17.5万的价格购得拍卖品。上面关于独立私有价值拍卖的分析只限于两个买主的情形。由于通常参与拍卖的买主往往多于两个，因此我们有必要分析清楚具有更多买主的拍卖。下面我们将分析具有三个买主的独立私有价值拍卖，至于具有N个买主的更一般的拍卖情形，读者可按照类似的分析方法进行讨论。如同前面的分析一样，每个买主i把其他买主对拍卖品的评价看作随机变量，并且假设这些随机变量都服从区间],[vv上的均匀分布。当然，每个买主都会清楚自己对拍卖品的真实评价。由于这是一个密封投标的第一价格拍卖，在定出价向量),,(321bbbb=的条件下，买主i的支付函数为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−≠−=其他情形个买主之一是出价最高如果都成立，如果对于所有的,0ri),(1bbij,),,(ji321iiiiibvrbvbbbu从而买主i的期望支付为：),,():(),,(321321bbbuijbbPbbbEijiii≠=对于所有的。由于随机变量服从区间上的均匀分布，因此任意两个买主出价相等的概率为0，期望支付不会因为买主们的出价相等而受到影响。根据对称性我们可以推断，买主们会使用相同的最优出价规则。与两个买主的独立私有价值拍卖的情形类似，我们也有如下的类似结论：)(ijvj≠4结论8.2假定在一个三买主的独立私有价值拍卖中，买主们对拍卖品的评价是相互独立的随机变量，并且服从区间],[vv上的均匀分布，则线性出价规则3,2,1,3231)(=+=ivvvbiii构成一个对称的纳什均衡。定理8.3令表示评价向量。如果拍卖采取密封投标的第二价格拍卖形式，则买主i的最优出价是。),,(1nvvvL=iivb=例8.2让我们先回到例子8.1。在这个例子中，如果拍卖人对油画采取密封投标的第二价格拍卖形式，则买主1将出价20万，买主2将出价25万。因此，油画最终将以20万的价钱成交。而如果采取第一价格拍卖的形式，则油画最终只能以17.5万的价格成交。显然，在这个例子中，采取第二价格拍卖的形式能给拍卖人带来更大的收益。然而，如果其他因素不变，但是买主2对拍卖品的评价是35万，那么要是采取第一价格密封投标拍卖的形式，最高的出价将达到22.5万，拍卖人将获得22.5万的收益。如果采取第二价格密封投标的拍卖形式，拍卖人最终还是只能得到20万的收益。例8.2表明，在独立私有价值拍卖的情形下，我们很难判断，哪一种拍卖形式能给拍卖人带来更大的收益。尽管如此，维克瑞（1961）却证明了，从拍卖人的期望收益的角度考虑，第一价格密封投标拍卖与第二价格密封投标拍卖是等价的，这就是著名的期望收益等价原理。5