4.1.3球坐标系与柱坐标系

问题情境GPS系统包括三大部分：空间部分-----GPS卫星星座；地面控制部分-----地面监控系统；用户设备部分-----GPS信号接收机。问题情境那么怎样确定它们在空间的位置呢?GPS的空间部分是由24颗工作卫星组成,它位于距地表20200km的上空,均匀分布在6个轨道面上(每个轨道面4颗),轨道倾角为55°。此外,还有4颗有源备份卫星在轨运行。卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到4颗以上的卫星,并能保持良好定位解算精度的几何图象。这就提供了在时间上连续的全球导航能力。问题:建构数学在空间任取一点O作为极点，从O引两条相互垂直的射线Ox和Oz作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴转动所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系。Oxz(或空间极坐标系)当时，空间的点0,0,02r那么，有序数组(r,,)就成为点P的球坐标.建构数学OxzrP(r,,)设P是空间一点，用r表示OP的长度，表示以Oz为始边，OP为终边的角，表示半平面xOz到半平面POz的角.r是矢径，相当于经度，称为余纬度.(除直线Oz上的点)与有序数组(r,,)建立了一一对应关系。数学运用例1、建立适当的球坐标系，表示棱长为1的正方体。xzABCGDEFO(0,0,0)O(1,,0)2A(2,,)24B(1,,)22C(1,0,0)D(2,,0)4E3(3,arccos,)34F(2,,)42G空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,,)之间的变换关系:xyz建构数学OzrP(r,,)zyxxz2222xyzrsincossinsincosrrrr≥0,0≤≤,0≤＜21、设点P的球坐标为，求它的直角坐标.(1,1,2)点在直角坐标系中的坐标为2、设点P的直角坐标为，求它的球坐标.(6,23,4)33(2,,)445(8,,)36点在球坐标系中的坐标为数学运用例2、球坐标满足方程r=3的点构成的图形是什么？并将此方程化为直角坐标方程。建构数学在极坐标系的基础上，增加垂直于此平面的Oz轴，可得空间柱坐标系。zOxQr建构数学设P是空间一点，P在过O且垂直于Oz轴的平面上的射影为Q，取OQ=r，∠xOQ=，PQ=zOxzQrzP(r,,z)那么P的柱坐标为有序数组(r,,z)当时，空间的点0,02,zRr(除直线Oz上的点)与有序数组(r,,z)建立了一一对应关系。空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(r,,z)之间的变换公式为:cossinxyzzrr建构数学OxzQrzP(r,,z)1、设点的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标.1cos1sin1zrr解得2,4r注：求θ时要注意角的终边与点的射影所在位置一致.数学运用求它的直角坐标。的柱坐标为、设点),7,6,2(2M(3,1,7)点在柱坐标系中的坐标为.(2,,1)43、给定一个底面半径为r,高为h的圆柱,建立柱坐标系,利用柱坐标描述圆柱侧面以及底面上点的位置.1、建立适当的柱坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.2、柱坐标满足方程ρ=2的点所构成的图形是什么?xyzo数学运用数轴平面直角坐标系平面极坐标系空间直角坐标系球坐标系柱坐标系坐标系坐标系是联系形与数的桥梁,利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化,从而产生了坐标法.小结