用数学来刻画人们对风险的不同态度新

1用数学刻画人们对投资风险的态度摘要：本文简单的介绍了所运用的数学基本的观念和工具刻画了人们对不确定利益的欲望，以及用期望效用函数来刻画人们对风险的不同态度。最后应用前面得到的定理和公理来应用到最优投资消费问题。关键词：资产风险；风险价值；不确定利益；效用函数；行为金融学；风险厌恶度量；最优投资；1引言风险即是自然现象，也是一个社会经济现象。它具有自然与社会两种属性，而且这两种属性对立统一，相互转化。在理论界，对风险的理解，国内外学者的阐述不尽一致。学术界虽然有不同的理论，但这些理论都是从一个方面对风险进行界定。如果单根据某一理论就给风险下一个明确的定义，难免有些欠妥。现今普遍的而又被大家接受的含义是：风险就是收入或本金的损失，或者预期收益的不能达到。具体到股票市场，即在一定的客观条件和一定的时间内，由于不确定因素的作用引起股票价格的变动，给投资者造成损失或收益的可能性以及损失或收益程度。资产的“风险价值”可以用资本资产定价模型之类的理论来刻画。但是其最终结论是一个“客观结论”，即它们都是通过市场的总体来确定资产的“风险价值”。然而，正如我们在讨论资产的“时间价值”时可以注意到的，“时间价值”有时可以是一个主观概念。出于个人的某种需要，在个人的投资—消费决策问题中，个人可以有适应自己偏好的“时间价值观”。对于“风险价值”来说，显然会有同样的问题。也就是说，同样的风险对于不同的人来说，其“风险价值”是不同的。有人循规蹈矩，凡事安分守己，决不涉足非分之财；有人胆大包天，动辄孤注一掷，终日梦想财从天降。以彩票为例，对前一种人来说，彩票的“风险价值”接近于零，几乎从来不能使他们掏腰包；对后一种人来说，彩票的“风险价值”就甚为可观，使他们每月都愿意投以巨资。那么我们能否用数学来刻画这种“主观风险价值”？尤其是，是否又可以运用这种“主观风险价值”的概念2来为金融资产定价？说起来，这还是一个比我们想象的更为古老的问题。这个问题就是怎样把人们的愿望数量化的问题。19世纪末，有一些热衷于用数学方法来研究经济学的经济学家们提出了“效用函数”的概念。这个概念试图把人们对商品消费的愿望数量化。所谓“效用函数”就是各种商品量的一个函数。例如，在某个经济学问题中要研究人们对“衣食住行”的需求，而“衣食住行”这四个方面都已经被一般地数量化，比如都已经用他们所花的钱来刻画。那么我们就可以考虑一个代表人们对“衣食住行”四方面的愿望的效用函数。这个函数有四个变量，它们分别代表“衣食住行”的数量。而这个函数所取的值就是“衣食住行”的“总体效用”。这种“总体效用”对每个人来说可能在基本需求方面大致相同，但个性需求方面差异很大。例如，在食的方面，当“食变量”取得很小时，“食值”增大会使“总体效用”增加很多，毕竟“民以食为天”，饥肠辘辘，人就很难生存。但当“食值”大到一定程度以后，“食值”再增大所增加的“总体效用”就因人而异了。有人满足于一般的吃饱吃好，再让他吃“奢侈”，吃“排场”，他就不感兴趣；但是也有一些“食不厌精”的“美食家”，“食值”再高，也能显著增大他的“总体效用”。如此等等。对其他几方面的情况也都可以类似考虑。对这样的效用函数是否存在是始终有争论的。人们会问，这样的效用函数能测量吗？我的效用函数能和你的效用函数具体比较吗？许多人的效用函数能相加吗？这类问题都不太好回答，而否定这种效用函数的存在就几乎等于否定有可能建立定量的经济理论，尤其是定量的消费理论。人们的消费需求如果不能用适当的效用函数来刻画，我们将怎样来描述它，并导出各种消费品的市场需求？对这个问题的讨论不能靠简单，抽象的论证，而是要看实践对运用效用函数的经济理论的检验。尽管人们对这种十分人为的效用函数总有疑问，但是事实上，今天的经济理论已经完全离不开效用函数这一概念可。这当然是实践证明了它的生命力。我们现在要讨论的问题比通常的效用函数是否合理还要复杂，因为我们还要考虑人们对风险的态度，也就是说，除了要把人们的消费愿望数量化以外，这里还牵涉到要把人们对未来的不确定性的态度也要数量化。那么是否可定义既考虑消费愿望，又考虑不确定性的效应函数呢？这一问题也有很长的历史，而其最终为美籍匈牙利裔大数学家冯.诺伊曼(JohnvonNeumann,1903—1957)和美籍奥地3利裔经济学家摩根斯特恩(OskarMorgenstern,1902—1976)给出一个答案。他们在他们于1944年出版的巨著《博弈论与经济学》中用数学公理化的方法对它给出了完整的回答，定义了今天在金融理论研究中几乎仍然处于统治地位的“期望效用函数”概念。期望效用函数的概念是始终有人对它提出挑战的。尤其是近年来喧喧嚷嚷的行为金融学的出现，更是大有要把期望效用函数清除出金融学之势。有关的争论我们将放到以后来研究，本文我们还是原原本本地来说一说什么是用数学公式来定义的期望效用函数。数学公理化方法最早的范例就是公元前3世纪前后出现在古希腊的欧几里得的《几何原本》。这一范例直到19世纪末，还没有其他专著或研究在公理化方法上省过它。我们今天在中学课程中学习的几何学基本上仍然属于欧几里得几何范畴。1899年，德国大数学家希尔伯特(DavidHilbert,1862—1943)出版了专著《几何基础》，把欧几里得几何学进一步形式化，提出了明确系统的数学公理化方法，从此，数学公理化就成为数学研究的基本要求。所谓数学公理化方法是指，为得到一种理论，必须以其中的一些原始假设作为公理，而理论的其他命题都是由这些公理经过逻辑推理所得到的。例如在几何学中，我们通过“两点决定一条直线”“两条直线相交于一点”以及决定两点之间的距离的公理以后，我们就可以证明“三角形的三条中线相交于一点”之类的几何命题。公理的原来含义是“天经地义”“不严自明”的道理，但在数学公理化方法中，公理仅仅是理论的假设，它本身是否一定合理是自在所提出的理论以外的问题。冯·诺伊曼是希尔伯特最出色最伟大的学生。他本人在数学公理化理论研究上有不可磨灭的历史贡献。人们可能会注意到，知道现在为止，今天已经几乎在人们的科学生活一切的计算机，还被称为“冯·诺伊曼计算机”。它起源于冯·诺伊曼提出的把数据和程序都放在计算机的存储器的见解。这一见解的根源当然也与他对数学公理化理论的研究有关，然而，我们这里要谈的是经济学中第一次运用数学公理化方法。那就是冯·诺伊曼—摩根斯特恩期望效用函数的提出。尽管概念本身有其经济学上的历史渊源，但在理论论证上显然是冯·诺伊曼的杰作。我们不准备在这里详细介绍什么是期望效用函数及其各种进一步的研究细节，因为那不是这本小册子的任务。想了解这方面基本概念的读者可参看任何一本较深入的微观经济学教程。但是我们可以在这里介绍一个用不太严格的较接近普通语4言的形式来描述的简化的文本，使读者能比较准确地理解这个概念。2刻画人们对“不确定利益”的欲望我们要讨论的是这样的问题：怎样来刻画人们对“不确定利益”的欲望。为简单起见，我们假定这里的“不确定利益”就是用随机变量来刻画的钱的数量，其中包括例如：确定的100元；以30%的概率得到50元，以70%的概率得到20元，以10%的概率什么也得不到，以80%的概率损失1000万元。如此等等。由此我们规定：我们讨论的对象是“不确定利益”全体L，并由此提出一条公里。公里1“不确定利益”是某些随机变量所构成的集合L，并且对于任何两个“不确定利益”x,y来说，“以概率p获得x,以概率1-p获得y”也是“不确定利益”。这一“不确定利益”可称为x以概率p与y的“平均”，并记为(x,y;p)。这条公理虽然比较自然，但更多地是为了明确规定我们讨论的对象。这里需要注意的是：x和y本身也可能是不确定的。因此，对他们加上概率要求，其中将蕴含概率的迭代计算。例如，x原来就包含以20%的概率获得100元，现在又要以p=10%的概率获得x，那么新的“不确定利益”(x,y;p)获得100元的概率就变为0.2*0.1=0.02，即2%。当然，严格地说，这些常用的概率运算法则也应该以公式的形式表达出来。下面要提出反映人们对这些“不确定利益”的欲望程度。所提出的公理有的是对群体而言的，有的是对个体而言的。但最终形成的“期望效用函数”是对个体而言的。也就是说，它仅仅是用来描述某人对这些“不确定利益”的欲望。公理2任何两个“不确定利益”都可以比较好坏。这就是说，对于L中的任何两个“不确定利益”x和y，某人总能说出x比y好，或者y比x好，或者x与y一样好。这条公理认为某人总能对“不确定利益”作出他的判断。但是这里并不要求所有人的看法都一样。以上的两条公理都是原来的论证中也有的。以下的两条公理是我们提出的较简化的公理。公理3“不确定利益”中有一个最好的以及一个最差的。从一般理论出发来考虑，我们可以不要求那样强的公理。但是对一个具体的问题来说。把它当作一条公理也没什么不妥。例如，我们可以认为“最好的不确定利益”是“肯定获得1万万万亿元”其他的“不确定利益”都界于这两者之间。5把这样的事认为是公理，大概没有什么人会反对。这是因为我们并没有说任何“不确定利益”都可能发生。公理4如果有三个“不确定利益”一个比一个好，那么处于中间的“不确定利益”相当于另外两个“不确定利益”的对某个概率的“平均”。这条公理略微有点费解。但是仔细琢磨一下，我们可以认为这条公理还是比较合理的。事实上，如果“不确定利益”x比“不确定利益”y好，那么我们上面所说的“以概率p获得x,以概率1-p获得y”的“平均”(x,y;p)的好坏程度应该可以理解为处于x和y之间，即，当p0时，(x,y;p)比y好，但比x差(请注意，我们仅仅可以这样理解，而公理本身并没有作这样的假定).这条公理是说，反过来，对于任何好坏程度介于x和y之间的“不确定利益”z，一定存在某一个概率p使得z与(x,y;p)的好坏程度相当。这样说起来似乎还可以接受，但是如果人们感到费解也是很合理的。事实上可以证明，在上面三条公理的假设下，这条公理可导出：公理4`如果有一个“不确定利益”比另一个“不确定利益”好，那么它们与任何“不确定利益”的“同样的平均”仍然保持同样的好坏顺序。即，如果x比y好，那么对于任何“不确定利益”z和任何概率p，(x,z;p)总比(y,z;p)要好。由公理4导出公理4`是比较容易的。事实上，公理4`显然是下面的由公理1—公理4导出的定理的推论。公理4`称为冯·诺伊曼—摩根斯特恩独立性定理。这里“独立”的含义是指：如果“不确定利益”x比“不确定利益”y好，那么这种好坏顺序相对于任何其它“不确定利益”z来说在某种意义下是“独立”的，即x与z的“平均”仍然比y与z的同样方式的“平均”要好。我们先叙述前面提到的经济学中第一个运用数学公理化方法的范例，冯·诺伊曼—摩根斯特恩期望效用函数存在定理：定理公理1—公理4等价于存在定义在“不确定利益”全体L上的(期望效用)函数:uLR，使得“不确定利益”x比“不确定利益”y好等价于()()uxuy，并且对于任何“不确定利益”x与y，x以概率p与y的“平均”(x,y;p),满足((,;))()(1)()uxyppuxpuy(1)这里记号:uLR表示u是定义在“不确定利益”全体L上的取实数值的函数6(R表示实属全体).这条定理是说人们对“不确定利益”的好坏感觉只要满足上面的几条公理，就一定可通过一个取实值的函数来表达。就这个意义来说，它与经典的效用函数的含义没有什么不同。问题在于现在对这个效用函数还有(1)式那样的要求。如果x和y都是确定的量，那么他们的“平均”(x,y;p)就是以概率p取x,以概率1-p取y的随机变量。而(1)式就意味着：如果U是把u局部为定义在实数上的函数时的实变量实值函数(:URR,但对于任何实数,()()xRUxux有),那么有((,;))[((,;))]uxypEUxyp一般情况下，即对任何“不确定利益”随机变量z,有()[()]uzEUz(2)这就是说，对于“不确定利益”的效用函数，就是一个普通的“确定利益”的效用函数的数学期望值，因而它就被称为期望效用函数。其实，能由