论文正定二次型的判断及应用(1)

JISHOUUNIVERSITY本科生毕业论文题目：正定二次型的判断及应用作者：徐杨学号：20084043041所属学院：数学与统计学院专业年级：2008级数学与应用数学指导教师：莫宏敏职称：副教授完成时间：2012年5月14日吉首大学教务处制吉首大学本科生毕业论文II独创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。论文题目：正定二次型的判断及应用作者签名：日期：年月日论文版权使用授权书本人完全了解吉首大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同意吉首大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。(保密的学位论文在解密后应遵守此协议)论文题目：正定二次型的判断及应用学生签名：日期：年月日导师签名：日期：年月日吉首大学本科生毕业论文III目录1引言.............................................................11.1什么是二次型................................................11.2二次型的研究历史...........................................22正定二次型的判断................................................33实二次型的正定性证明不等式........................................94实二次型的正定性在极值问题中的应用..............................10参考文献...........................................................11吉首大学本科生毕业论文1正定二次型的判断及应用徐杨（吉首大学数学与统计学院，湖南吉首416000）摘要：在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文总结了正定二次型的一些判断方法及其在证明不等式与极值问题中的应用.关键词：正定二次型；正定阵；顺序主子式JudgementofpositivedefinitequadraticformanditsapplicationsXuyangAbstract：Inthequadraticform,thepositivedefinitequadraticformhasaspecialposition.Thispaperhassummarizedsomejudgementmethodsofthepositivedefinitequadraticformandgivensomeapplicationsininequalitiesprovingandextremeproblems.Keywords:positivedefinitequadraticform;positivedefinitematrix;principalminordeterminant1引言1.1什么是二次型定义1（实二次型）设);,,2,1,(jinjiaij均为实常数，称关于n个实变量nxxx,,,21的二次齐次多项式函数吉首大学本科生毕业论文2njijijiijniiiinnnnnnnnxxaxaxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxf1,12222322322221131132112211121222222),,(为一个n元实二次型，简称为n元二次型。令jiijaa，则ijjijiijjiijxxaxxaxxa2，再令矩阵nnijaA)(，Tnxxxx),,,(21，则A为实对称矩阵，且可将二次型写成nnnnnnnnninjjiijnxxxaaaaaaaaaxxxxxaxxxf21212222111211211121),,(),,(或AxxxfT)(定义2（正定二次型）设有n元二次型AxxxfT)(（A为实对称矩阵），如果对任意n维非零向量x，都有0)(xf，则称f为正定二次型，并称实对称矩阵A为正定矩阵.1.2二次型的研究历史二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的.柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类.然而，那是并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项.西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明.这个定律后被雅克比重新发现和证明.1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语.二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日吉首大学本科生毕业论文3在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念.而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特、蒙日和泊松建立的.2正定二次型的判断定理1实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型的充要条件是它的正惯性指数等于n.证明:设实二次型AXXxxxfn),,,(21经线性替换X=PY化为标准形2222211nnydydydf)1(其中.,,2,1,niRdi由于p为可逆矩阵,所以nxxx,,,21不全为零时nyyy,,,21也不全为零,反之亦然.)(如果f是正定二次型,那么当nxxx,,,21不全为零,即nyyy,,,21不全为零时,有02222211nnydydydf)2(若有某个),1(nidi比方说.0nd则对1,0121nnyyyy这组不全为零的数,代入)1(式后得.0ndf这与f是正定二次型矛盾.因此,必有),,2,1.(0nidi.即f的正惯性指数等于n.)(如果f的正惯性指数等于,n则),,2,1(0nidi于是当nxxx,,,21不全为零,即当nyyy,,,21不全为零时)2(式成立,从而f是正定型定理2实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型的充要条件是对任何n维实的非零列向量X必有0AXX证明：)(由假设f是正定二次型,故存在实的非退化的线性替换,QYX使22221nyyyAXX)3(吉首大学本科生毕业论文4对,0X因Q非奇异,故,0Y于是由)3(可知0AXX)(设AXX的秩与正惯性指数分别为r与,p先证,pr如,rp则由惯性定理,存在非退化的线形替换,QYX使得221221'rppyyyyAXX)4(由假设,对任何,0,0AXXX但对列向量0)0,,0,1,0,,0(QX（因Q是非奇异阵,1是X的第1p个分量）却有01AXX这与假设矛盾.故pr.再证nr.如果,nr则)4(式应化为nryyyAXXr,22221')5(于是取0)1,0,,0(QX由)5(即得,0AXX又与假设矛盾,故,pnr即f是正定二次型.定理3实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型的充要条件是f的规范形为2222121),,,(nnyyyxxxf.证明：)(实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型,则由定理1可知f的正惯性指数为n，则二次型AXXxxxfn),,,(21可经过非退化实线形替换成2222121),,,(nnyyyxxxf)(f的规范形为2222121),,,(nnyyyxxxf,则f的正惯性指数为,n由定理1可知f为正定二次型.定理4实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型的充要条件是矩阵A与单位矩阵合同.吉首大学本科生毕业论文5证明：)(实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型,则由定理3,可知f的规范形为2222121),,,(nnyyyxxxf.此即存在非退化线形替换(CYX其中C可逆),使得2222121)()(),,,(nnyyyACYCYCYACYAXXxxxf所以,EACC因此矩阵A单位矩阵合同.)(矩阵A单位矩阵合同,则存在可逆矩阵,C使得EACC，令CYX则2222121)()(),,,(nnyyyACYCYCYACYAXXxxxf.因此,由证明4,可知f是正定二次型.定理5实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型的充要条件是矩阵A的主子式全大于零.证明：)(实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型,以kA表示A的左上角k阶矩阵,下证),,,2,1(,0nkAk考虑以kA为矩阵的二次型jkikjiijkxxaxxxg1121),,,(由于)0,,0,,,,(),,,(2121kkxxxfxxxg所以当kxxx,,,21不全为零时,由f正定二次型可知,0g从而g为正定二次型,固.0kA)(对二次型的元数n作数学归纳法当1n时,,)(21111xaxf因为,011a所以f正定,假设,1n且对1n元实二次型结论成立.由于,01111aa用111aai乘A的第1列到第i列,再用111aai乘第A的第1行到第i行),,,3,2(ni经此合同变换后A,可变为以下的一个矩阵吉首大学本科生毕业论文60000111AaB因为矩阵A与B合同,所以B是一个n阶对称矩阵.从而1A也是对称矩阵.上述的变换不改变A的主子式的值,因此B,的主子式也全大于零,而B的)2(nkk阶主子式等于1A的1k阶主子式乘以,11a并且011a于是1A的主子式全大于零,由归纳假设,1A与1nI合同,所以A与单位矩阵合同,此即f是正定二次型.定理6实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型的充要条件是矩阵A的顺序主子式全都大于零.证明：)(实二次型)(),,,(21AAAXXxxxfn是正定二次型,则由定理5可知A的主子式全大于零,所以A的顺序主子式也全大于零.)(对二次型的元数n作数学归纳法当1n时,,)(21111xaxf由条件知,011a所以)(1xf是正定的.假设充分性的判断对于1n元的二次型已经成立,现在来证n元的情形.令1A=1,11,11,111nnnnaaaannnaa,11于是矩阵A可以分块写成：A=nnaA1则1A的顺序主子式也全大于零,由归纳法假定,1A是正定矩阵.则存在可逆的1n阶矩阵,G使得1nEAGG，令1C=100G于是吉首大学本科生毕业论文7nnnnnaGGEGaAGACC1111100100.再令2C=10'1aGEn，则有GGaECACCCnnn0012112令21CCC，dGGann，就有dACC11