波的叠加和干涉

1波的叠加和干涉2一、波的叠加原理1.内容1.几列波相遇后仍保持它们原有的特性（频率、波长、振幅、传播方向）不变，互不干扰。好象在各自传播过程中没有遇到其它波一样。2.在相遇区域内，介质任一点的振动为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和。——波的独立性原理。—波的叠加原理。3叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解为简谐波的组合。能分辨不同的声音正是这个原因；波的叠加原理并不是普遍成立的，有些是不遵守叠加原理的。如果描述某种运动的微分方程是线性微分方程，这个运动就遵从叠加原理，如果不是线性微分方程，它就不遵从叠加原理。222221tyuxy1y若、分别是它的解，则也是它的解,即上述波动方程遵从叠加原理。)(21yy2y波动方程：它是各种平面波所必须满足的线性偏微分方程。4二、波的干涉1.波的干涉现象频率相同、振动方向相同、有恒定位相差的两列波（或多列波）相遇时，在介质中某些位置的点振幅始终最大，另一些位置振幅始终最小，而其它位置，振动的强弱介乎二者之间，保持不变。称这种稳定的叠加图样为干涉现象。2.相干条件1.两列波振动方向相同；2.两列波频率相同；3.两列波有稳定的相位差。满足相干条件的波源称为相干波源。53.干涉加强、减弱条件设有两个频率相同的波源和，1S2S其振动表达式为：)cos(11010tAy)cos(22020tAy1r2rP1S2S两列波传播到P点引起的振动分别为：)2cos(1111rtAy)2cos(2222rtAy在P点的振动为同方向同频率振动的合成。A1、A2是S1、S2在P点引起的振动的振幅。6下面讨论干涉现象中的强度分布在P点的合成振动为：)cos(21tAyyy由于波的强度正比于振幅的平方，所以合振动的强度为：cos22121IIIII)(2)(1212rr对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。1r2r1S2Spcos2212221AAAAA71.干涉加强条件21maxAAAA2121max2IIIIII)(2)(1212rr,cos2212221AAAAA1cos当时，干涉相长2.干涉减弱条件1cos当时，干涉相消||21minAAAA2121min2IIIIII,...)3,2,1,0(,2kk即)3,2,1,0(,)12(kk即8当两相干波源为同相波源时，有：)(2)(1212rr此时相干条件写为：21,...3,2,1,0,21kkrr,...3,2,1,0,2)12(21kkrr干涉相长干涉相消称为波程差初位相相同的两个相干波源，在两列波叠加的区域内，当波程差为零或波长的整数倍时，合振动的振幅最大，干涉相长；当波程差为半波长的奇数倍时合振幅最小，干涉相消。干涉加强减弱条件：k2)12(k加强减弱9例：两相干波源A、B位置如图所示，频率=100Hz，波速u=10m/s，AB=，求：P点振动情况。解：um1.0100105m1Ar22B2015rABPm205m1Br2002ABABrr201P点干涉减弱。10例2：两相干波源分别在PQ两点处，初相相同，它们相距3/2，由P、Q发出频率为，波长为的两列相干波，R为PQ连线上的一点。求：①自P、Q发出的两列波在R处的相位差。②两波源在R处干涉时的合振幅。2/3PQR解：)(221rr2323为的奇数倍，||21AA合振幅最小，11四、驻波1.驻波的产生有两列相干波，它们不仅频率相同、位相差恒定、振动方向相同，而且振幅也相等。当它们在同一直线上沿相反方向传播时，在它们迭加的区域内就会形成一种特殊的波。这种波称为驻波。当一列波遇到障碍时产生的反射波与入射波叠加可产生驻波。驻波的特点：媒质中各质点都作稳定的振动。波形并没有传播。122.驻波的表达式设有两列相干波，分别沿X轴正、负方向传播，选初相位均为零的表达式为：)2cos(1xtAy)2cos(2xtAy)2cos()2cos(21xtAxtAyyy0tx0x0t2yx0x1y其合成波称为驻波其表达式：反射波入射波13txAcos2cos2简谐振动简谐振动的振幅它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。驻波方程：txAycos2cos2利用三角函数关系求出驻波的表达式：2cos2cos2coscos)2cos()2cos(21xtAxtAyyy141.振幅项xA2cos2只与位置有关，而与时间无关。波节讨论：2.振幅最大的点称为波腹，对应于即1|2cos|xkx2的各点；振幅值最大为2A。波腹波腹的位置为：,...3,2,1,0,2kkx波节的位置为：,...3,2,1,0,4)12(kkx0|2cos|x振幅为零的点称为波节，对应于即2)12(2kx的各点。txAycos2cos215相邻波腹间的距离为：相邻波节间的距离为：相邻波腹与波节间的距离为4因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。4)12(4]1)1(2[1kkxxkk222)1(1kkxxkk23.驻波的波形、能量都不能传播，驻波不是波，是一种特殊的振动。波节波腹相邻的两个波节和波腹之间的距离都是2结论：163.驻波的相位txAycos2cos2时间部分提供的相位对于所有的x是相同的，而空间变化带来的相位是不同的。在434x范围内，02cos2xA•在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大或同时达到反向最小。速度方向相反。是波节，如4x考查波节两边的振幅，•两个波节之间的点其振动相位相同。同时达到最大或同时达到最小。速度方向相同。结论：；02cos2xA44x内，在范围17txAycos2cos2txAVmVEk22222sin)2(cos221txAuVxyVYEp222222cos2sin)2(2)(214.驻波的能量各质点位移达到最大时,动能为零，势能不为零。在波节处相对形变最大，势能最大；在波腹处相对形变最小，势能最小。势能集中在波节。当各质点回到平衡位置时，全部势能为零；动能最大。动能集中在波腹。•能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复循环，能量不被传播。这可从能流密度证明：因为能流密度等于平均能量密度乘波速，左行波与右行波能流密度之和为零。驻波不传播能量，它是媒质的一种特殊的运动状态，稳定态。18例题：位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频率都是100赫兹，相差为，其A、B相距30米，波速为400米/秒，求:AB连线之间因相干涉而静止的各点的位置。解：如图所示，取A点为坐标原点，A、B联线为X轴，取A点的振动方程:)cos(tAyA在X轴上A点发出的行波方程：)2cos(xtAyAB点的振动方程:)0cos(tAyBBAXxm30x30O在X轴上B点发出的行波方程：])30(20cos[xtAyB19相干相消的点需满足：kx230sec/4mu因为：,...2,1,0215kkx可见在A、B两点是波腹处。BAXxm30x30因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干为静止的点满足：)12()30(22kxx)3,2,1(kmx29,27,25,......9,7,5,3,1204.半波损失入射波在反射时反射波相位突变了，相当于波程损失了半个波长的现象称为半波损失。波节波腹在绳与墙壁固定处，为波节位置。这一现象说明，在反射端，入射波与反射波在该点各自引起的两个振动位相相反，两位相相差为，相当于波程相差/2。反射波与入射波形成的驻波在介质分界处是波节还是波腹与这分界处两边的介质性质有关。当波从波疏媒质垂直入射到波密媒质界面上反射时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。当波从波密媒质垂直入射到波疏媒质界面上反射时，无半波损失，界面处出现波腹。21)10cos(tyO入])2014(10cos[xty反1y2yO7)(mx)]()20(10cos[1SIxtAy例：如图所示，有一沿X轴正向传播的平面简谐波，其波动方程为：此波在x=7m处受到波密介质平面的反射（设反射时波的强度不变）。求：（1）反射波的波动方程；（2）在x=6m处介质质元的振动方程；（3）在区间0x7m，干涉相消点的位置。解:(1)O点]7)20(10cos[xt221y2yO7)(mx(2)在x=6m处介质质元的振动方程)72610cos()2610cos(6tty(3)因为在x=7m处为波密反射点，该处为波节点。因为两相邻波节之间的间隔为/2。)(41040220muT所以在0x7m区间的干涉相消点为：)(7,5,3,1mx)10cos(26ty即：