专题强化五-地球同步卫星-双星或多星模型

专题地球同步卫星双星或多星模型命题点一地球同步卫星1．定义：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星．2．“七个一定”的特点：(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面．(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h.(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．(4)高度一定：由GMmR＋h2＝m4π2T2(R＋h)得地球同步卫星离地面的高度h＝3.6×107m.(5)速率一定：v＝GMR＋h＝3.1×103m/s.(6)向心加速度一定：由GMmR＋h2＝ma得a＝GMR＋h2＝gh＝0.23m/s2，即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度．(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向相同．例1(2016·全国Ⅰ卷·17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为()A．1hB．4hC．8hD．16h答案B解析地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律r3T2＝k可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出它们间的位置关系如图所示．卫星的轨道半径为r＝Rsin30°＝2R由r31T21＝r32T22得6.6R3242＝2R3T22.解得T2≈4h.解决同步卫星问题的“四点”注意1．基本关系：要抓住：GMmr2＝ma＝mv2r＝mrω2＝m4π2T2r.2．重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析．3．物理规律：(1)不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期．(2)不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径．(3)不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方的特定的点上．4．重要条件：(1)地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球的表面半径约为6.4×103km，表面重力加速度g约为9.8m/s2.(2)月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天．(3)人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103km，运行周期最小为T＝84.8min，运行速度最大为v＝7.9km/s.1．(2016·四川理综·3)国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”．如图1所示，1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440km，远地点高度约为2060km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786km的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为()图1A．a2＞a1＞a3B．a3＞a2＞a1C．a3＞a1＞a2D．a1＞a2＞a3答案D解析由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a＝ω2r，r2r3，则a2a3；由万有引力定律和牛顿第二定律得，GMmr2＝ma，由题目中数据可以得出，r1r2，则a2a1；综合以上分析有，a1a2a3，选项D正确．2．(2014·天津·3)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比()A．距地面的高度变大B．向心加速度变大C．线速度变大D．角速度变大答案A解析地球的自转周期变大，则地球同步卫星的公转周期变大．由GMmR＋h2＝m4π2T2(R＋h)，得h＝3GMT24π2－R，T变大，h变大，A正确．由GMmr2＝ma，得a＝GMr2，r增大，a减小，B错误．由GMmr2＝mv2r，得v＝GMr，r增大，v减小，C错误．由ω＝2πT可知，角速度减小，D错误．3．(多选)地球同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，地球的第一宇宙速度为v2，半径为R，则下列比例关系中正确的是()A.a1a2＝rRB.a1a2＝(rR)2C.v1v2＝rRD.v1v2＝Rr答案AD解析设地球的质量为M，同步卫星的质量为m1，在地球表面绕地球做匀速圆周运动的物体的质量为m2，根据向心加速度和角速度的关系有a1＝ω12r，a2＝ω22R，又ω1＝ω2，故a1a2＝rR，选项A正确；由万有引力定律和牛顿第二定律得GMm1r2＝m1v21r，GMm2R2＝m2v22R，解得v1v2＝Rr，选项D正确．命题点二双星或多星模型1．双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图2所示．图2(2)特点：①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即Gm1m2L2＝m1ω12r1，Gm1m2L2＝m2ω22r2②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即m1m2＝r2r1.2．多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．图3(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．例2(2015·安徽理综·24)由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图4为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m、B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：图4(1)A星体所受合力大小FA；(2)B星体所受合力大小FB；(3)C星体的轨道半径RC；(4)三星体做圆周运动的周期T.答案(1)23Gm2a2(2)7Gm2a2(3)74a(4)πa3Gm解析(1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为FBA＝GmAmBr2＝G2m2a2＝FCA方向如图所示则合力大小为FA＝FBA·cos30°＋FCA·cos30°＝23Gm2a2(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为FAB＝GmAmBr2＝G2m2a2FCB＝GmCmBr2＝Gm2a2方向如图所示，由余弦定理得合力为：FB＝F2AB＋F2CB－2FAB·FCB·cos120°＝7Gm2a2(3)由于mA＝2m，mB＝mC＝m通过分析可知，圆心O在BC的中垂线AD的中点则RC＝34a2＋12a2＝74a(4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝7Gm2a2＝m(2πT)2RC，可得T＝πa3Gm.4．(2013·山东理综·20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为()A.n3k2TB.n3kTC.n2kTD.nkT答案B解析设两恒星的质量分别为m1、m2，距离为L，双星靠彼此的引力提供向心力，则有Gm1m2L2＝m1r14π2T2Gm1m2L2＝m2r24π2T2并且r1＋r2＝L解得T＝2πL3Gm1＋m2当两星总质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时T′＝2πn3L3Gkm1＋m2＝n3k·T故选项B正确．5．银河系的恒星中大约四分之一是双星．如图5所示，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动．由天文观察测得它们的运动周期为T，若已知S1和S2的距离为r，引力常量为G，求两星的总质量M.图5答案4π2r3GT2解析设星体S1、S2的质量分别为m1、m2，运动的轨道半径分别为R1、R2，则运动的角速度为ω＝2πT根据万有引力定律和向心力公式有Gm1m2r2＝m1ω2R1＝m2ω2R2又R1＋R2＝r联立解得两星的总质量为M＝m1＋m2＝ω2r2R2G＋ω2r2R1G＝ω2r3G＝4π2r3GT2.一、近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体的比较如图6所示，a为近地卫星，半径为r1；b为同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3.图6近地卫星同步卫星赤道上随地球自转的物体向心力万有引力万有引力万有引力的一个分力轨道半径r1r2r2r3＝r1角速度由GMmr2＝mrω2得ω＝GMr3，故ω1ω2同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3ω1ω2＝ω3线速度由GMmr2＝mv2r得v＝GMr，故v1v2由v＝rω得v2v3v1v2v3向心加速度由GMmr2＝ma得a＝GMr2，故a1a2由a＝rω2得a2a3a1a2a3二、卫星追及相遇问题典例(多选)如图7，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M(M远大于m1及m2)，在c的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有()图7A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次答案AD解析根据开普勒第三定律：周期的平方与半径的三次方成正比，则周期之比为1∶8，A对；设图示位置夹角为θπ2，b转动一周(圆心角为2π)的时间为t＝Tb，则a、b相距最远时：2πTaTb－2πTbTb＝(π－θ)＋n·2π(n＝0,1,2,3，…)，可知n6.75，n可取7个值；a、b相距最近时：2πTaTb－2πTbTb＝(2π－θ)＋m·2π(m＝0,1,2,3，…)，可知m6.25，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，D对．点评某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上，由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻，而本题中a、b、c三个质点初始位置不在一条直线上，故在列式时要注意初始角度差．题组1同步卫星1．(多选)据报道，北斗卫星导航系统利用其定位、导航等功能加入到马航MH370失联客机搜救工作，为指挥中心调度部署人力、物力提供决策依据，保证了搜救船只准确抵达相关海域，帮助搜救船只规划搜救航线，避免搜救出现遗漏海域，目前北斗卫星导航定位系统由高度均约为36000km的5颗静止轨道卫星和5颗倾斜地球同步轨道卫星以及高度约为21500km的4颗中轨道卫星组网运行，下列说法正确的是()A．中轨道卫星的周期比同步卫星的周期大B．所有卫星均位于以地心为中心的圆形轨道上C．同步卫星和中轨道卫星的线速度均小于第一宇宙速度D．赤道上随地球自转的物体的向心加速度比同步卫星的向心加速度大答案BC解析由开普勒第三定律可知，轨道半径较小的中轨道卫星的周期比同步卫星的周期小，A项错；由题意知，北斗导航系统的卫星轨道高度一定，因此卫星均位于以地心为中心的圆形轨道上，