数学建模典型例题

一、人体重变化某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克•天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100%地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。一、问题分析人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。二、模型假设1、以脂肪形式贮存的热量100%有效2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存3、假设体重的变化是一个连续函数4、初始体重为W0三、模型建立假设在△t时间内：体重的变化量为W（t+△t）-W(t)；身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t））将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量；转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt；四、模型求解d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686W(0)=W0解得：5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686)即：W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686)当t趋于无穷时，w=81;二、投资策略模型一、问题重述一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本aij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）。以千元计数aij的由下面的表给出：aij年2年3年4年5年6年14691220年2571116年36813年4811年510请寻找什么时间买进和卖出汽车的最便宜的策略。二、问题分析本问题是寻找成本最低的投资策略，可视为寻找最短路径问题。因此可利用图论法分析，用Dijkstra算法找出最短路径，即为最低成本的投资策略。三、条件假设除购入价折旧以及运营和维护成本外无其他费用；四、模型建立二5117三64166138四一91281120五10六运用Dijikstra算法1234560469122069122091220122020可发现，在第二次运算后，数据再无变化，可见最小路径已经出现即在第一年买进200辆，在第三年全部卖出，第三年再买进200第六年全部卖出。三、飞机与防空炮的最优策略一、问题重述：红方攻击蓝方一目标，红方有2架飞机，蓝方有四门防空炮，红方只要有一架飞机突破蓝方的防卫则红方胜。其中共有四个区域，红方可以其中任意一个接近目标，蓝方可以任意布置防空炮，但一门炮只能防守一个区域，其射中概率为1。那么双方各采取什么策略？二、问题分析该问题显然是红方与蓝方的博弈问题，因此可以用博弈论模型来分析本问题。1、对策参与者为两方（红蓝两方）2、红军有两种行动方案，即两架飞机一起行动、两架飞机分开行动。蓝军有三种防御方案，即四个区域非别布置防空炮（记为1-1-1-1）、一个区域布置两架一个没有另外两个分别布置一个（记为2-1-1-0）、两个区域分别布置两架飞机另外两个没有（记为2-2-0-0）。显然是不需要在某个区域布置3个防空炮的。三、问题假设：（1）红蓝双方均不知道对方的策略。（2）蓝方可以在一个区域内布置3,4门大炮，但是大炮数量大于飞机的数量，而一门大炮已经可以击落一架飞机，因而这种方案不可取。（3）红方有两种方案，一是让两架飞机分别通过两个区域去攻击目标，另一种是让两架飞机通过同一区域去攻击目标。（4）假设蓝方四门大炮以及红方的两架飞机均派上用场，且双方必须同时作出决策。四、模型建立行动及其产生的结果红方蓝方2架一起两架分开1-1-1-11.00.002-1-10.750.502-2-0-00.500.83由此可得赢得矩阵蓝方为A，红方为BA=100.750.500.500.83B=00.250.510.50.17没有鞍点，故用混合策略模型解决本问题设蓝方采取行动i的概率为xi(i=1，2，3)，红方采取行动j的概率为yj(j=1,2)，则蓝方与红方策略集分别为：S1=｛x=（x1，x2，x3）0xi1,∑xi=1｝，S2=｛y=（y1，y2）0yi1,∑yi=1｝。五、模型求解下列线性规划问题的解就是蓝军的最优混合策略x*Maxv10*x1+0.25*x2+0.5*x3v1x1+0.5*x2+0.17*x3v1x1+x2+x3=1xi=1下列线性规划问题的解就是红军的最优混合策略y*Minv2y2v20.25*y1+0.5*y2v20.5*y1+0.17*y2v2y1+y2=1yi=1四、雷达计量保障人员分配开展雷达装备计量保障工作中，合理分配计量保障人员是提高计量保障效能的关键。所谓合理分配是指将计量保障人员根据其专业特长、技术能力分配到不同的工作岗位上，并且使得所有人员能够发挥出最大的军事效益。现某雷达团共部署12种型号共16部雷达，部署情况及计量保障任务分区情况如表所示：区域部署雷达计量保障任务划分计量保障任务数量区域1（雷达一营）区域2（雷达二营）区域3（雷达三营）A、A、B、C、D、EC、F、G、H、ID、F、J、K、LA、B1、B2、C、D、E、C、F、G、H1、H2、ID、F、J、K、L1、L2666说明：1．保障任务分区域进行保障；2．B、H、L型雷达分为两个保障任务，分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2，其它雷达为一个保障任务；3．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务；4．不同区域的相同雷达看作不同保障任务；5．每个保障人员只能保障一个任务；6．每个保障任务只由一个保障人员完成。雷达的重要性由其性能和所担负的作战任务共同决定，即使同一型号的雷达在不同区域其重要性也可能不同。各雷达的重要性如下表所示（表中下标表示雷达所在保障区域）：雷达A1B1C1D1E1C2F2G2H2I2D3F3J3K3L3重要性0.80.90.80.70.70.70.80.70.90.60.70.90.80.60.7该雷达团修理所现在有10名待分配计量保障人员，他们针对不同保障任务的计量保障能力量化指标如下表所示：人员AB1B2CDEFGH1H2IJKL1L2Mw10.80.300.70.40.80.60.70.90.30.4000.70.8Mw20.90.500.5000.50.90.50.50.50.50.50.50.5Mw300.900000.40.60.40.70.40.40.30.40.5Mw40.4000.50.500.200.20.60.80.20.70.20.2Mw50.70.80.70.60.70.30.300.30.50.70.30.30.30.7Mw60.500.80.60.80.70.800.80.80.60.80.80.10.2Mw70.50.90.4000.20.30.40.30.300.60.30.30.5Mw80.80.20.40.600.10.20.20.20.100.20.10.20.2Mw90.40.70.50.50.30.60.70.80.70.60.40.30.70.60.2Mw100.70.30.80.60.80.80.30.50.200.40.90.700问题：如何给该团三个营分配计量保障人员，使他们发挥最大军事效益？一、问题分析：该问题是人员指派问题，目的是得到最大效益。根据保障能力测试与雷达重要性定义出效益矩阵，用0—1整数规划方法来求解，得到最大效益矩阵。二、模型假设1．保障任务分区域进行保障；2．B、H、L型雷达分为两个保障任务，分别为B1、B2、H1、H2、L1、L2，其它雷达为一个保障任务；3．同一区域多部相同雷达等同于一部雷达的保障任务；4．不同区域的相同雷达看作不同保障任务；5．每个保障人员只能保障一个任务；6．每个保障任务只由一个保障人员完成。三、模型建立根据题目列出保障人员能力量化指标矩阵：007.09.03.08.04.002.05.03.06.08.08.06.08.03.07.02.06.07.03.07.03.04.06.07.08.07.05.06.03.05.05.07.04.02.02.01.02.02.0001.02.02.02.06.01.006.04.02.08.05.03.03.06.03.0003.03.04.03.002.0004.09.05.02.01.08.08.08.08.06.08.08.008.06.07.08.06.08.005.07.03.03.03.03.07.07.05.03.003.06.03.07.06.07.08.05.02.02.07.02.02.05.08.06.02.002.05.005.05.0007.05.04.03.04.04.004.07.04.06.04.0000009.005.05.05.05.05.005.05.05.05.05.05.0005.005.09.08.07.0006.04.04.03.09.07.06.07.08.04.07.003.08.0A根据题目，设保障任务的重要性向量),...,,(21ibbbB，bi表示第i个任务的重要性。列出保障任务重要性向量：7.07.06.08.09.07.06.09.09.07.08.07.07.07.08.09.09.08.0B我们用二者的乘积表示效益矩阵：BAR。我们设元素rij表示第i个人完成j件事的效益,Xij表示第i个人去保障第j件任务，如果是，其值为1，否则为0。利用这一个矩阵和0-1规划，我们就可以列出方程：mjniijijxrZ11*maxmijijx1niijx11,m=nmodel:sets:M/1..10/;N/1..18/:a;allowed(M,N):b,r,x;endsetsdata:a=0.80.90.90.80.70.70.70.80.70.90.90.60.70.90.80.60.70.7;b=0.80.300.70.40.80.70.60.70.90.30.40.40.6000.70.80.90.500.5000.50.50.90.50.50.500.50.50.50.50.500.9000000.40.60.40.70.400.40.40.30.40.50.4000.50.500.50.200.20.60.80.50.20.20.70.20.20.70.80.70.60.70.30.60.300.30.50.70.70.30.30.30.30.70.500.80.60.80.70.60.800.80.80.60.80.80.80.80.10.20.50.90.4000.200.30.40.30.3000.30.60.30.30.50.80.20.40.600.10.60.20.20.20.1000.20.20.10.20.20.40.70.50.50.30.60.50.70.80.70.60.40.30.70.30.70.60.20.70.30.80.60.80.80.60.30.50.200.40.80.30.90.700;enddatamax=@sum(allowed(i,j):x(i,j)*r(i,j));@for(M(i):@for(N(j):r(i,j)=a(j)*b(i,j)));@for(M(i):@sum(N(j):x(i,j))=1);@for(N(j):@sum(M(i):x(i,j))=1);@for(M(i):@for(N(j):@bin(x(i,j))));End解得最大效益为6.63，分配方案为：第5、7、8号保障人员分配到区域1，其中8号承担A型，5、7号承担B1，B2型；第1、2、3、4、9号保障人员分配到区域2，其中第9号保障人员承担F型2号G型