6.4-函数的单调性与曲线的凹凸性

6.4函数的单调性与曲线的凹凸性1函数单调性的判别法函数单调区间的求法小结思考题作业6.4函数的单调性与曲线的凹凸性曲线凹凸性的判别法曲线的拐点及其求法第6章微分中值定理与导数的应用6.4函数的单调性与曲线的凹凸性20)(xf0)(xf定理6.8,0)(),()2(xfba内如果在单调增加;单调减少.一、函数单调性的判别法xyOabAB)(xfyxyO)(xfyabAB设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.那末函数y=f(x)在[a,b]上那末函数y=f(x)在[a,b]上,0)(),()1(xfba内如果在6.4函数的单调性与曲线的凹凸性3证],,[,21baxx,21xx且拉氏定理))(()()(1212xxfxfxf,0)(f则),()(12xfxf,0)(f则),()(12xfxf)(21xx,0)(xf,0)(xf(1)(2)此定理不论对于开、闭、有限或无穷区间都正确.注若在(a,b)内,若在(a,b)内,因为所以y=f(x)在[a,b]上单调增加;因为所以y=f(x)在[a,b]上单调减少.6.4函数的单调性与曲线的凹凸性4例解.1e的单调性讨论函数xyx.1exy,)0,(内在,0y,),0(内在,0y.),0[单调增加函数在).,(定义域为;]0,(单调减少函数在因为所以所以6.4函数的单调性与曲线的凹凸性5方法不存在的根及用方程)(0)(xfxf问题如上例,函数在定义区间上不是单调的,若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数的符号.的分界点．二、函数单调区间的求法但在各个部分区间上单调.则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间的点划分函数f(x)的定义区间,6.4函数的单调性与曲线的凹凸性6例解的确定函数31292)(23xxxxf12186)(2xxxf)2)(1(6xx,11x.22x).,(定义域)1,()2,1(),2(x)(xf)(xf单调区间为],1,(],2,1[).,2[xyO1122,0)(得解方程xf单调区间.6.4函数的单调性与曲线的凹凸性7例解.)(32的单调区间确定函数xxf)0(,32)(3xxxf,0时当x单调减少区间为],0,().,0[32xy)0,(),0(x)(xf)(xf).,(定义域xyO单调增加区间为导数不存在.6.4函数的单调性与曲线的凹凸性8区间内有限个或无穷多个离散点处导数为零,如,,3xy,00xy上但在),(注不影响区间的单调性.单调增加.3xy又如,内在),(sinxxy可导,且xycos1等号只在),1,0(π)12(kkx(无穷多个离散点)处成立,故),(sin在xxy内单调增加.,0xyO6.4函数的单调性与曲线的凹凸性9例证.)1ln(,0成立试证时当xxx),1ln()(xxxf设.1)(xxxf则,),0(,),0[)(可导且上连续在xf;),0[上单调增加所以在,0)0(f,0时所以当x,0)1ln(xx).1ln(xx即,0)(xf,0)0()(fxf因为因为6.4函数的单调性与曲线的凹凸性10例证xxxfxsine21)(2设xxxfxcose)(,0)(,10xfx.]1,0[)(上单调增加在所以xf定不出符号0)0(f且0)0(f且].1,0[)(Cxf0.21sine,102xxxx证明xxfxsine1)(6.4函数的单调性与曲线的凹凸性11)(,10xfx有时当0sine212xxx,10时当x,0)(,10xfx.]1,0[)(上单调增加在所以xf)(xf有)0(f.0].1,0[)(Cxf)0(f.0xxxfxcose)(即xxxfxsine21)(2上单调增加在]1,0[)(xf.21sine2xxx6.4函数的单调性与曲线的凹凸性12证.),1[11)(上单调增加在证明xxfx若令xxg11ln)(x,11lnxx则只须证明g(x)单调增加.xxxg11ln)(而xxx11]ln)1[ln(拉氏定理,1ln)1(lnxx),1,(xxxxg111)(0)0(xg(x)单调增加.从而.),1[)(上单调增加在xf6.4函数的单调性与曲线的凹凸性13考研数学(一,二)12分).(e4lnln,ee2222ababba证明设证法一,e4ln)(22xxx设则,e4ln2)(2xxx,ln12)(2xxx所以,e时当x,0)(x)(x故单调减少,从而,ee2时当x)e()(2x,ee2时即当x)(x单调增加.,ee2时当ba因此),()(ab即,e4lne4ln2222aabb故).(e4lnln222abab,0e4e4226.4函数的单调性与曲线的凹凸性14).(e4lnln,ee2222ababba证明设证法二x2ln对函数,ln)(ttt,ln1)(2ttt,e时当t,0)(t所以)(t单调减少,从而).(e4lnln222abab在[a,b]上应用拉氏定理,得),(ln2lnln22abab.ba设则),e()(2即22eelnln即,e22考研数学(一,二)12分6.4函数的单调性与曲线的凹凸性15考研数学(一,二)选择题4分设函数f(x)连续,,0)0(f且则存在,0使得.),0()()A(内单调增加在xf.)0,()()B(内单调减少在xf).0()(),0()C(fxfx有对任意的).0()()0,()D(fxfx有对任意的Axfxffx0)0()(lim)0(0设,0,2A对,0,0时当x20)0()(AAxfxf有23)0()(2AxfxfA即).0()(fxf6.4函数的单调性与曲线的凹凸性16(concaveandconvex)三、曲线凹凸性的判别法1.定义如何研究曲线的弯曲方向xyOABC6.4函数的单调性与曲线的凹凸性17)(xfy)(xfy1x2x1x2x定义6.1],,[)(baCxf设,2)()()2(2121xfxfxxf恒有凹2)()()2(2121xfxfxxf(凸)221xx221xx图形上任意弧段位于所张弦的下方图形上任意弧段位于所张弦的上方xyOxyO如果对(a,b)内任意两点x1,x2,那么称f(x)在(a,b)内的图形是的.6.4函数的单调性与曲线的凹凸性18)(xfy)(xfy曲线弧上每一点的切线都在曲线的下或定义(上)方,称为凹弧.(凸)凹弧的曲线段)(xf即f(x)的切线斜率是单增的,是单增的,弧的切线斜率是单减的,)(xf即是单减的.而凸利用二阶导数判断曲线的凹凸性从几何直观上,随着x的增大,xyOxyO6.4函数的单调性与曲线的凹凸性19递增)(xf0)(xf递减)(xf0)(xf定理6.9具有二阶导数,0)(xf若),0(凹(凸)2.凹凸性的判别法xyOabAB)(xfyxyOabAB)(xfy如果f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内在(a,b)内,在[a,b]上的图形是的.则f(x)6.4函数的单调性与曲线的凹凸性20证20000)(!2)())(()()(xxfxxxfxfxf)(0之间与在xx)])(()([)(000xxxfxfxf即))(()()(000xxxfxfxf这说明切线位于曲线的下方,),,(0bax任取泰勒公式),,(bax处的切线在曲线0)(xxfy020)(!2)(xxf即f(x)是凹的.),(bax0)(xf若6.4函数的单调性与曲线的凹凸性21)1,,0,0(2)(21nyxyxyxyxnnnnttf)()(tf)(tf)]()([21yfxf即.2)(21nnnyxyx例证,1nnt2)1(ntnn0yxt,0内任意两点对2yxf)0(t设图形是凹的.利用函数图形的凹凸性证明不等式:6.4函数的单调性与曲线的凹凸性22例.3的凹凸性判断曲线xy解,32xy因为,6xy,0时当x,0y;]0,(为凸的在所以曲线,0时当x,0y.),0[为凹的在所以曲线注凸变凹的分界点.3xyxyO点(0,0)是曲线由6.4函数的单调性与曲线的凹凸性23考研数学(一,二,三,四)填空4分设函数y=f(x)具有二阶导数,,0)(xf且yyxxxxfd,,0)(0与处的增量在点为自变量,0x若分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,则.d0)A(yy.d0)B(yy.0d)C(yy.0d)D(yyxyO)(xfyT0xMxxΔ0NyydQx0Δ)(dxxfy6.4函数的单调性与曲线的凹凸性241.定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.几何上四、曲线的拐点及其求法(inflectionpoint)拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.3xyxyO6.4函数的单调性与曲线的凹凸性25,)(0变号两近旁xfx,)(0不变号两近旁xfx拐点的充分条件0)(0xf且2.拐点的求法拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处.拐点的必要条件若f(x)具有二阶导数,则点.0)(0xf(1)(2)(x0,f(x0))是拐点的必要条件为(或x0为二阶导数不存在的点)设函数f(x)在点x0邻域内二阶可导,点(x0,f(x0))即为拐点;点(x0,f(x0))不是拐点.6.4函数的单调性与曲线的凹凸性26例.95)2(235的拐点及凹、凸性求曲线xxy解),(,910)2(3532xxy.)2()2(19103131xxy,0y令,31x得不存在的点y不存在定义域为(1)(2).22x(3)列表x)2,(),3()3,2(23)(xf)(xf0拐点拐点)920,2()4,3(6.4函数的单调性与曲线的凹凸性27例.)]π2,0([cossin的拐点内求曲线xxy解,sincosxxy,cossinxxy.sincosxxy,0y令,4π31x得2)4π3(f,02)4π7(f,0内曲线有拐点为在]π2,0[),0,4π3(拐点的第二充分条件,0)(0xf且,0)(0xf而.4π72x).0,4π7(设函数f(x)在x0的邻域内是曲线y=f(x)的拐点.三阶可导,那末(x0,f(x0))6.4函数的单调性与曲线的凹凸性28例.3的拐点求曲线xy解,0时当x,3132xy,9435xy.,,0均不存在是不可导点yyx,0,)0,(y内但在;]0,(上是凹的曲线在,0,),0(y内在.),0[上是凸的曲线在.)0,0(3的拐点是曲线点xy函数的单调性与曲线的凹凸性6.4函数的单调性与曲线的凹凸性29证法一用单调性证.法二用凹凸性证