时间序列分析讲义--第10章-协方差平稳向量过程

时间序列分析方法讲义第10章协方差平稳向量过程和向量自回归模型1第十章协方差平稳向量过程和向量自回归模型在时间序列理论当中，涉及到向量时间序列的主要有两部分内容，一部分是多元动态系统，另一部分是向量自回归模型的估计和检验。在本章当中，我们主要讨论一些基本概念。§10.1向量自回归导论仍然利用小写字母表示随机变量或者实现，只是现在讨论1n向量之间的动态交互作用。假设一个p阶向量自回归模型可以表示为)(pVAR：tptp2t21t1tεYΦYΦYΦcY(10.1)其中p1ΦΦ,是nn阶系数矩阵，t是白噪声向量，满足：tstsE,0,)(tsεε其中是nn阶正定矩阵。可以利用分量形式将上述方程组的第一个方程表示为：tptnpnptpptptnntttnntttyyyyyyyyycy1,)(1,2)(12,1)(112,)2(12,2)2(122,1)2(111,)1(11,2)1(121,1)1(1111(10.2)由此可见，在)(pVAR模型当中，每个变量都表示成为常数项和其他所有变量的p阶自回归的形式。此时与一元情形的一个显著的不同是，每个方程的残差项之间可能是相关的。利用滞后算子形式，可以将)(pVAR模型表示成为：ttp21εcΦΦΦyLLLIpn][2(10.3)其中滞后算子多项式的元素可以表示成为：ppijijijijijLLLL)(2)2()1()(Φ其中jiij,1，jiij,0定义10.1如果一个向量过程的一阶矩和二阶矩与时间无关，则称其是协方差平稳过程。此时下述变量与初始时间t无关：)(tEy和)(jttEyy命题10.1如果一个向量过程满足)(pVAR模型，且该过程是向量协方差平稳过程，则该过程的性质有：(1)该过程的均值向量可以表示成为：cΦΦΦIμp211][n(10.4)(2))(pVAR模型可以表示成为中心化形式：12()()()()ttttpt12pyμΦyμΦyμΦyμε(10.5)§10.2向量自回归方程的表示和平稳性条件与将高阶线性差分方程表示为一阶差分方程一样，我们也可以将一个普通的VAR(p)模型表示成为VAR(1)的形式。为此，我们定义更高阶的向量为：1(,,,)nptt-1t-p+1ξy-μy-μy-μ)0,,0,(1tnpV时间序列分析方法讲义第10章协方差平稳向量过程和向量自回归模型20000000000001321nnnpnpnpIIIF利用上述表示，可以将VAR(p)模型表示成为紧凑形式为：1tttξFξv(10.6)此时向量误差的协方差矩阵为：,(),tstsEtsQvv0此处协方差矩阵为：npnpΩ000000000Q0000000000对方程(10.6)进行叠代，可以得到：21121sstststststtξvFvFvFvFξ显然，当向量过程是平稳过程时，任何给定的误差过程的影响一定要随着时间消失，这时矩阵F的所有特征根都要落在单位圆内。类似的命题有：命题10.2矩阵F的特征根满足下列方程：12||0pppn12pIΦΦΦ(10.7)与此对应，VAR(p)模型是向量协方差平稳过程的条件是下述方程的特征根全部落在单位圆外：2||0pnzzz12pIΦΦΦ对向量协方差平稳过程而言，我们也可以类似地定义和讨论它的协方差性质。例如，时间间隔为j的协方差矩阵为：[()()]jttjEΓy-μy-μ(10.8)但是需要注意的是，此时不满足等式：jjΓΓ，正确的对应关系为：jjΓΓ针对协方差平稳的VAR(p)模型，假设：时间序列分析方法讲义第10章协方差平稳向量过程和向量自回归模型311011102120()[(),(),,()]ttpppppEEtttt-1t-p+1ty-μy-μΣξξy-μy-μy-μy-μΓΓΓΓΓΓΓΓΓ(10.9)进一步可以得到：11()[()()]()[]ttttttttttEEEEξξFξvFξvFξξFvv因此有：ΣFΣFQ(10.10)上述公式建立了向量协方差之间的关系。§10.3向量自回归模型的极大似然估计和假设检验显然，在协方差平稳过程中，向量自回归模型是比较容易进行估计和预测的，由于Sims(1980)做出了具有影响性的研究，使得VAR模型在进行经济系统的动态分析中变得十分流行。下面我们主要介绍没有限制条件的VAR模型的估计问题。1.向量自回归的条件似然函数假设1n维向量tY满足p阶高斯—向量自回归模型：tptp2t21t1tεYΦYΦYΦcY(10.11)其中p1ΦΦ,是nn阶系数矩阵，t是高斯噪声向量，满足：~(0,)NtεΩ上述模型估计类似于单变量AR模型。2.似然比检验对于VAR模型而言，检验模型的自回归阶数的假设检验可以很容易和方便地通过似然比检验进行，此时模型的原假设和备选假设为：0H：0pp；0H：10ppp(10.12)此时的似然比统计量为：21001ˆˆ2(){log||log||}~()LRTs这里的s是原假设的限制参数个数，此时210()snpp§10.4二元变量的Granger因果关系检验可以利用向量自回归模型处理的一个重要问题是判断一些变量在预期其他变量时是否有用。这时我们需要描述二元变量之间的关系。这种方法最早由Granger(1969)提出，通过时间序列分析方法讲义第10章协方差平稳向量过程和向量自回归模型4Sims(1972)的应用使其流行起来。1.二元变量Granger因果性的定义考虑两个单变量tx和ty，我们需要解决的问题是如何判断ty是否有助于预测tx。如果ty无助于预测tx，我们则称ty对tx没有显著的Granger因果影响(tydoesnotGranger-causetx)。我们可以更为正式地描述这样的关系：如果对所有的0s，基于1(,,)ttxx预测tsx的均方误差与使用1(,,)ttxx和1(,,)ttyy预测tsx的均方误差是相同的，则称ty没有对tx产生Granger因果影响。如果我们仅仅考虑线性约束，则ty没有对tx产生Granger因果影响的条件为：对所有0s，有：111ˆˆ[(|,,)][(|,,;,,)]tstttsttttMSEExxxMSEExxxyy(10.13)上述表达式还有一个等价的说法，如果上式成立，则称tx在时间序列的意义上相对于ty是外生的。这样的关系还有第三种称呼，如果上式成立，则称ty对于未来的tx不具有线性信息性。最早Granger提出如此定义的原因是，如果一个事件Y是另外一个事件X的原因的话，那么事件Y应该先于事件X发生。虽然从哲学角度这样的关系可能是对的，但是在实践中如何检验这样的关系则是艰难的。2.Granger因果性的另一种解释在描述二元变量tx和ty的VAR模型中，可以利用回归系数矩阵来说明tx和ty之间的Granger因果关系。命题10.3如果在tx和ty的VAR模型中，对所有j，系数矩阵jΦ都是下三角矩阵，即：(1)(2)1211111(1)(1)(2)(2)12221222122()111()()22122000ttttttptptpptptxxxcyyycxy(10.14)证明：根据整个系统的第一行可以知道，关于tx的最优一阶段预测仅仅依赖自身的滞后值，而不依赖ty的滞后值：(1)(2)()111111111111ˆ(|,,;,,)]pttttttttpExxxyycxxx进一步，可以得到：(1)(2)()21111111121,2pttttptxcxxx根据投影的叠代定律，以及数学归纳法，我们可以证明对任意超前0s阶段的预测都仅仅依赖1(,,)ttxx。Sims(1972)给出了Granger因果关系的另外一种通俗的解释，可以归纳为下面的命题：命题10.4考虑ty基于tx的过去、现在和将来值的投影：01tjtjjtjtjjycbxdx(10.15)时间序列分析方法讲义第10章协方差平稳向量过程和向量自回归模型5这里jb和jd均是母体投影系数，即满足：对所有t和，()0tEx则ty没有对tx产生Granger因果影响的充分必要条件为：0jd，1,2,j(10.16)这个命题说明，如果ty没有对tx产生Granger因果影响，则未来的tx值对解释当期的ty没有任何帮助。3.Granger因果性的计量检验上面我们给出了三种Granger因果关系的解释，任何一种解释都可以用来进行计量检验。其中最为简单也可能是最好的方法是在VAR模型中检验系数约束。为了进行如此检验，我们利用OLS对下述方程进行估计：111221122tttptpttptptxcxxxyyyu(10.17)我们对下面的原假设进行F—检验：0H：120p这里进行F—检验的一种办法是计算回归方程(10.17)的残差平方和(我们需要Tp个样本)：211ˆTttRSSu(10.18)在原假设成立下，我们计算下面OLS回归的残差平方和：01122tttptptxcxxxe(10.19)对应的残差平方和为：201ˆTttRSSe(10.20)此时定义检验统计量为：0111()//(21)RSSRSSpSRSSTp(10.21)如果该统计量大于(,21)FpTp分布的5%临界值，则我们拒绝“ty没有对tx产生Granger因果影响”的原假设；这就是说，当统计量1S充分大以后，我们将得“ty对tx产生Granger因果影响”的结论。显然，对于具有固定回归因子和残差高斯分布的假设下，上述统计量具有确切的F—分布。但是，在自回归方程中由于解释变量具有相依性，因此这些分布性质则是渐近成立的。因此，一个等价的渐近检验统计量为：0121()TRSSRSSSRSS(10.22)如果该统计量大于2()p分布的5%临界值，则我们拒绝“ty没有对tx产生Granger因果影响”的原假设；这就是说，当统计量2S充分大以后，我们将得“ty对tx产生Granger因果影响”的结论。显然，还有多种Granger因果关系的检验方法，但大都不具有普遍性。时间序列分析方法讲义第10章协方差平稳向量过程和向量自回归模型64.解释Granger因果关系检验显然，什么是“Granger因果性”与“因果关系”标准含义之间的关联，我们可以通过一些例子来加以说明。例10.1Granger因果关系检验与前瞻性行为假设投资者在时刻t以价格tP购买一股股票，则在时刻1t该投资者可以获得红利1tD，并以价格1tP出售该股票。该股票的事后收益率(表示为1tr)满足：111(1)ttttrPPD(10.23)如果任何时期的股票预期收益率总是r的话，则简单的股票价格公式可以表示为：11(1)[]ttttrPEPD(10.24)这个简单定价公式蕴涵着有效市场假说(efficientmarketshypothesis)。如果具有边界条件的话，可以得到下面公式：011jtttjjPEDr(10.25)按