圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质的

圆锥曲线焦点三角形和焦点弦性质的探讨数学系2008级6班唐流聪指导教师XXX摘要：圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点，因而成为高考的重点考查内容。而圆锥曲线的主要内容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的有关问题，学生在求解此类题目时，常常感到无从下手。为解除这种困惑，在全面研究了高中数学教材及要求的基础上，通过分析、推导的方法，文章对椭圆焦点三角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质进行了研究和探讨，得出圆锥曲线焦点三角形的五条基本性质，以便使学生对相关知识有一个更全面、更系统、更深刻的了解，从而进一步提高运用这些性质去解决相关题目的数学能力和应用能力。关键词：圆锥曲线；焦点三角形；性质；焦点OnthePropertiesofConicFocalPointTriangleandFocalPointStringAbstract:Theconecurve,asanimportantpartofcontentofanalyticalgeometryinpresenthighschool,isratednotonlyasakeypointbutalsoadifficultyinmathematicsteachinginseniorhighschool,andsoitbecomesakeyexaminationpointinthecollegeentranceexamination.Themostimportantcontentofconecurveistheproblemsconcerningthestringorstraightlinewhichpassesthroughtheconicfocalpoint.Facedwiththiskindofquestions,somestudentsdonotalwaysknowwhattobeginwith.Torelievetheirconfusion,thispaper,onthebasisofathoroughstudyofthemathematicalteachingmaterialforhighschoolsandbymeansofanalysisanddeduction,probesintothenatureofellipsefocalpointtriangle,thenatureofhyperboliccurvefocalpointtriangleandthenatureofconicfocalpointstring,andpointsoutfivebasicpropertiesoftheconicfocalpointtriangle.Thesepropertiescanhelpstudentsfurtherunderstandtheconicknowledgesystematicallyandimprovetheirmathematicscompetenceandapplicationabilityinsolvingmathematicalproblems.Keywords:conecurve;focalpointtriangle;properties;focalpoint1引言圆锥曲线是现行高中解析几何学的重要内容之一，且圆锥曲线知识既是高中数学的重点，又是难点．而圆锥曲线的主要内容之一是过圆锥曲线焦点的弦或直线的相关问题.在求解这类问题时，许多学生常常感到束手无策，部分学生由于计算量大的繁锁，产生厌学数学的情绪．为了解除这种困惑，培养或提高学生学习数学的兴趣，让学生掌握一定的解题方法或数学思想是很必要的．在数学中，我们常常是利用性质去讨论问题，因此，文章首先探讨圆锥曲线焦点三角形及焦点弦的性质，然后再讨论这些性质的应用.圆锥曲线焦点三角形及焦点弦具有不少性质，许多教师或专家已做过研究.文献[2]主要是对椭圆焦点三角形的性质进行研究，而文献[7]主要是对双曲线焦点三角形的性质进行研究.文献[2]、[7]都是孤立地进行探讨，缺乏系统性，显得单一.文献[1]、[10]主要围绕焦点三角形的内切圆将椭圆焦点三角形与双曲线焦点三角形的性质结合起来探讨，弥补了文献[2]、[7]的不足之处.文献[9]主要是探讨圆锥曲线焦点弦的几何特征.作为一个有机整体的圆锥曲线焦点三角形，探求其所具有的共同特征的性质应该是一件非常有意义的事情.在对文献进行分析、研究的基础上，文章主要是结合高中数学课程的要求，对椭圆焦点三角形的性质，双曲线焦点三角形的性质及圆锥曲线焦点弦的性质作一定的探讨，将其系统地归纳集中或进行了一定的扩展，让学生对其有一个更全面、更深刻的了解，从而进一步提高学生运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力．2圆锥曲线焦点三角形的定义及性质圆锥曲线上一点与其两焦点所构成的三角形叫做圆锥曲线的焦点三角形[1].2.1椭圆焦点三角形的性质以椭圆)0(12222babyax的两个焦点1F，2F及椭圆上任意一点P（除长轴上两个端点外）为顶点的21PFF，叫做椭圆的焦点三角形[2].设21PFF=，21FPF=，12FPF=β，椭圆的离心率为e，则有以下性质：F2F1OyxP图1性质1cos12221bPFPF.证明：在21PFF中，由余弦定理，有2221212221)2(cos2cFFPFPFPFPFaPFPF221221222142aPFPFPFPF2212124cos224cPFPFPFPFa整理，得.cos12221bPFPF例1如图2：1F、2F分别为椭圆)0(12222babyax的左、右焦点，点P在椭圆上，2POF是面积为1的正三角形，求2b的值．yxOF2F1P图2分析：此题按常规思路是从12POFS入手，即S224360sin21cPOOF，求得.3342c所以点P的坐标分别为2c，c23.由于点P在椭圆上，有22222221434acbbcac解此方程组就可得到2b的值．但这涉及到解二元二次方程组，计算量很大，非常麻烦.若用性质1求解可使运算得以简化．解：连接,1PF则9021PFF，有21221PFFPOFSS90sin2121121PFPF.290sin90cos1241122bb性质2.2tan221bSPFF证明：由性质1得sin212121PFPFSPFF.2tancos1sinsincos1221222bbb例2已知1F、2F是椭圆1256422yx的两个焦点，P是椭圆上任一点，且321PFF，求21PFF的面积．分析：如果设P点的坐标为),(yx，由P点在已知椭圆上且321PFF，利用这两个条件，列出关于x,y的两个方程，解出x,y．再求21PFF的面积，这种方法，运算量大且过程繁杂，须另寻捷径．知道321PFF，可以直接利用性质2求解，使运算量简化.解：2tan221bSPFF.33256tan2521PFFS例3已知点),(00yxP)0(0y是椭圆)0(12222babyax上任一点，且21PFF.求证：2tan20cby.证明：0212221211ychFFSPFF2tan221bSPFF0221yc2tan2b00y.2tan20cby例4点P是椭圆14522yx上一点，以点P以及焦点1F、2F为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标．分析：要求点P的坐标，不妨设P点坐标为),(00yx，由P点在已知椭圆上和21PFF的面积等于1，可列两个方程，解方程可得点P的坐标．此题也可在例3的基础上进行求解[3]．解：设P点坐标为),(00yx,则有ccScbyPFF12tan2120122bac.1100yy把10y代入14522yx得.2150x.1215121512151215），），（，），（，），（，坐标为（点P性质3)12arccos(22abO.证明：由正弦定理，有sinsinsin2121FFPFPF)](180sin[sinsinsinsinsin2121FFPFPF2cos2sin22cos2sin2)sin(sinsin2sin12cos12cos2coscos12aPFPF221)(44222221bacFFcos12cos122222222baabaa即2222cosaab.因为0，所以2222arccosaab.当点P在长轴上的端点时，0，这时，21PFF不存在，因此，)12arccos(022ab[4].性质4离心率.2cos2cose证明：由正弦定理，有)sin(sinsinsin212121FFFFPFPF2cos2sin22cos2sin2sinsin)sin(2121PFPFFF.2cos2coseac例5（2004年福建高考题）已知1F、2F是椭圆的两个焦点，过1F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若2ABF是正三角形，求这个椭圆的离心率[5].分析：由2ABF是正三角形可知122AFAF，根据椭圆的第一定义可求得aAF2322.再由22130cosAFFF可求得离心率e.若用性质4解题，求解更简便．解：根据已知条件有.30,902121AFFFAF（如图3）.3330cos60cos23090cos23090cos2cos2coseF2F1yxOBA图3性质5ee112tan2tan.证明：由正弦定理，有sinsinsin2121FFPFPFsinsin)sin(sinsinsin2121PFPFFFsinsin)sin(ace2cos2sin22cos2sin22sin2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos2cos2cos2tan2tan12tan2tan1ee112tan2tan.例6如图4，P是椭圆12222byax上一点，1F、2F是焦点，已知,2,1221FPFFPF求椭圆的离心率[6]．F2F1POyx图4分析：知道,2,1221FPFFPF我们可以直接利用性质5解题．解：由性质5有eeee11cos2cos2sincossin2cos2sin1122tan2tan22ee11coscoscos122化简，得.1cos2e2.2双曲线焦点三角形的性质以双曲线)0,0(12222babyax的两个焦点1F、2F及双曲线上任意一点P（除实轴上两个端点外）为顶点的21PFF，叫做双曲线的焦点三角形[7].设21PFF=，21FPF=，12FPF=β，双曲线的离心率为e，则有以下性质：OF2F1Pyx图5性质1.cos12221bPFPF证明：在21PFF中，由余弦定理，有22221PFPFcos21PFPF2221)2(cFF①aPFPF221221222142aPFPFPFPF②由①②得.cos12221bPFPF例1设1F和2F为双曲线19162