全等三角形专题整理

全等三角形专题整理一、考点分析题型年份选择题解答题20161、正方形中全等三角形的对数2、三角形中位线与等腰三角形性质运全等三角形的判定与性质运用2015判断等腰三角形的个数无2014无全等三角形的判定与性质2013判断全等三角形的对数全等三角形的判定与性质2012平行四边形性质确定全等三角形的对数正方形的性质，三角形全等判二、三角形和全等三角形知识点1．三角形的边、角关系三角形的任意两边之和__大于__第三边；三角形的内角和等于__180°__；在同一个三角形中，大边对大角，__小边对小角__．三角形的一个外角__等于__和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角__大于__任何一个与它不相邻的内角．2．三角形的分类(1)按边分类不等边三角形等腰三角形底边与腰不相等的等腰三角形等边三角形(2)按角分类直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形3．三角形的主要线段(1)角平分线：一个角的顶点和这个角的平分线与对边的交点之间的线段叫做三角形的角平分线；三角形三条角平分线的交点，则叫三角形的内心，它到各边的距离相等．(2)中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线；三角形三条中线的交点，叫三角形的重心．(3)高：三角形的一个顶点和它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高；三角形三条高线的交点，叫三角形的垂心．(4)中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线．(5)垂直平分线：三角形三边的垂直平分线的交点，叫三角形的外心，它到各顶点的距离相等；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形外，直角三角形的外心在斜边中点．4．全等三角形对应角相等性质对应边相等边边边SSS全等形全等三角形应用边角边SAS判定角边角ASA角角边AAS斜边、直角边HL作图角平分线性质与判定定理（1）全等三角形的性质全等三角形对应边相等；②全等三角形对应角相等；（2）全等三角形的判定方法三边对应相等的两个三角形全等。②两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。③两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。④两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（3）角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上5、灵活运用定理（1）判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。（2）要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。（3）要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)6、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.7、等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.三、有关判定1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.3.三个角都相等的三角形是等边三角形.4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.5.两个边和其中一个夹角对应相等的两个三角形全等(ASA)；6.两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；7._三边对应相等的两个三角形全等(SSS)；8._斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)．5．一个防范按边分类时，一定要注意等边三角形也是一种等腰三角形，不要把它单独分出来．选择题中经常把它作为一个错误项出现；按角分类时，每一个角都是锐角的三角形才是锐角三角形，只要有一个角是直角或者有一个角是钝角，就能判定它是直角三角形或者是钝角三角形，但已知两角都为锐角时，要计算出第三角才能作出判定．6.两种思考途径(1)当图形明显具有对称性(轴对称或中心对称)或旋转性时，思考途径是：从居于对称位置的线、角或部分证相等或全等入手，或由前一次全等为后一次全等提供所缺的条件，或利用特殊三角形、特殊四边形的性质提供所缺的条件；(2)图形不具有明显的对称性或旋转性，此时要证明两个三角形全等，在思考上的关键是找准对应关系．其方法是：已知条件中相等的角、边对应，则它们所对的边、角对应；欲证相等的边、角对应，它们所对的边、角也是对应的；最后所余的一组边、一组角分别对应．7.三种基本思路(1)有两边对应相等时，找夹角相等或第三边对应相等；(2)有一边和一角对应相等时，找另一角相等或夹等角的另一边相等；(3)有两个角对应相等时，找一对边对应相等．另外，在寻求全等条件时，要善于挖掘图形中公共边、公共角、对顶角等隐含条件．8.四种思考方法(1)顺推分析：从已知条件出发，运用相应的定理，分别或联合几个已知条件加以发展，一步一步地去靠近欲证目标；(2)逆推分析：从欲证结论入手，分析达到欲证的可能途径，逐步沟通它与已知条件的联系，从而找到证明方法；(3)顺推分析与逆推分析相结合；(4)联想分析：对于一道与证明过的题目有类似之处的新题目，分析它们之间的相同点与不同点，尝试把对前一道题的思考转用于现在的题目中，从而找到它的解法．9六种全等模式(1)“公共角”模式；(2)“公共边”模式；(3)“对顶角”模式；(4)“角平分线”模式；(5)“平移”模式；(6)“旋转”模式．三、真题演练考点一、全等三角形的性质和判定1、（2013陕西卷7,3分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,若连接AC，BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对2、(2013·德阳)如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是()A．5.5B．5C．4.5D．43、(2014·宜昌)已知三角形两边长分别为3和8，则该三角形第三边的长可能是()A．5B．10C．11D．124、(2013·滨州)若从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条，则能组成三角形的概率为()A.12B.34C.13D.145、(2014·赤峰)如图，把一块含有30°角(∠A＝30°)的直角三角板ABC的直角顶点放在矩形桌面CDEF的一个顶点C处，桌面的另一个顶点F与三角板斜边相交于点F，如果∠1＝40°，那么∠AFE＝()A．50°B．40°C．20°D．10°6．(2014·邵阳)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是()A．45°B．54°C．40°D．50°,第9题图),第10题图)7．(2014·厦门)如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F.若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于()A．∠EDBB．∠BEDC.12∠AFBD．2∠ABF8．(2012·南通)如图，在△ABC中，∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝()A．360°B．250°C．180°D．140°,第8题图)第9题图)9．(2014·威海)如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是()A．∠BAC＝70°B．∠DOC＝90°C．∠BDC＝35°D．∠DAC＝55°10．(2013·铁岭)如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是()A．BC＝EC，∠B＝∠EB．BC＝EC，AC＝DCC．BC＝DC，∠A＝∠DD．∠B＝∠E，∠A＝∠D11．(2014·广州)在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的外角的度数是__．12．(2014·长沙)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝____．,第12题图),第13题图)13．(2013·白银)如图，已知BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为____．(答案不唯一，只需填一个)14．(2012·乐山)如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An－1BC的平分线与∠An－1CD的平分线交于点An，设∠A＝θ.则：(1)∠A1＝___；(2)∠An＝____．15．(2012·黄石)将下列正确命题的序号填在横线上____．①若n为大于2的正整数，则n边形的所有外角之和为(n－1)·180°；②三角形的三条中线的交点就是三角形的重心；③证明两个三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，SSA及HL等．16、（2008陕西卷18,6分）已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B求证：△ABC≌△CDE17、（2013陕西卷18,6分）如图，∠AOB=90°，OA=OB,直线l经过点O，分别过A、B两点作AC⊥l交l于点C，BD⊥l交l于点D。求证：AC=OD18、（2015陕西卷19,7分）如图，在△ABC中，AB=AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD、CE⊥AC，且AE、CE相交于点E，求证AD=CE.19．(2014·重庆)如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E.在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC.(1)求证：BE＝CF；(2)在AB上取一点M，使BM＝2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME.求证：①ME⊥BC；②DE＝DN.考点二、全等三角形和平行四边形证等边和等角1、（2006陕西卷20,8分）如图。O为的对角线AC的中点，过点O左一条直线分（第20题图）图1.1CEAD别与AB、CD交于点M、N，E、F在直线MN上，且OFOE分析：证全等得等边2、（2010陕西卷18,6分）如图，A、B、C三点在同一条直线上AB=2BC，分别以AB,BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN,EC.求证：FN=EC3、（2011陕西卷18,6分）在正方形ABCD中，点G是BC上任意一点，连接AG，过B，D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E，F两点，求证：△ADF≌△BAE．4、(2014·邵阳)如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.①从图中任找两组全等三角形；②从①中任选一组进行证明．四、考点练习1旋转成图1.如图2.1，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④AD=CE，⑤A1F=CE.其中正确的是(写出正确结论的序号).2.如图2.2，已知ABC△中，45ABC，F是高AD和BE的交点，4CD，则线段DF的长度为（）.A．22B．4C．32D．423.在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点