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19.1函数19.1.1变量与函数【知识与技能】运用丰富的实例，使学生了解常量与变量的含义，理解函数的概念,能根据所给条件写出简单的函数关系式.【过程与方法】通过丰富的实例，分析变化过程中的常量与变量，经历从实际问题中得到函数关系式的过程,发展学生的数学应用能力.【情感态度】引导学生探索实际问题中的数量关系,培养学习数学的兴趣和积极参与数学活动的热情.在解决问题的过程中体会数学的应用价值并感受成功的喜悦,建立自信心.【教学重点】理解常量、变量和函数的概念,并能根据具体问题得出相应的函数关系式.【教学难点】确定函数关系式及自变量的取值范围.一、情境导入,初步认识【教学说明】选取学生熟悉的生活情境,让学生感受其中的变化,从这些感受中逐渐领悟知识.情境1汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶里程为skm,行驶时间为th.填写下列表格,再试着用含t的式子表示s.情境2已知每张电影票的售价为10元，如果早场售出150张，午场售出205张，晚场售出310张，那么三场电影的票房收入各为多少元？设一场电影售出x张票，票房收入y元，怎样用含x的式子表示y？情境3要画一个面积为10cm2的圆，圆的半径应取多少？画面积为20cm2的圆呢？怎样用含圆面积S的式子表示圆半径r?二、思考探究，获取新知问题1在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，填入下表：如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m(kg)的式子表示受力后的弹簧长度l（cm）?问题2用10cm长的绳子围成长方形.试改变长方形的长度,观察长方形的面积怎样变化.记录不同的长方形的长度值,计算相应的长方形面积的值,探索它们的变化规律(用表格表示).设长方形的长为xcm,面积为Scm2,怎样用含x的式子表示S?将学生分成若干小组,分别探究两个问题,再汇总交流.【教学说明】在小组实践探究时,教师应参与小组活动,然后再作出总结.上面的问题和探究都反映了不同事物的变化过程,其中有些量(时间t,里程s;出售票数x,票房收入y;……)的值是按照某种规律变化的.在一个变化过程中,数值发生变化的量,我们称为变量.也有些量是始终不变的,如上面问题中的速度60(km/h),票价10(元)等,即为常量.一般来说，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.提出自变量取值范围的概念,总结求自变量取值范围的规律：(1)自变量以整式形式出现,取值范围是全体实数.(2)自变量以分式形式出现,取值范围是使分母不为0的数.(3)自变量以偶次方根形式出现,取值范围为使被开方数为非负数的实数;自变量以立方根形式出现,取值为全体实数.(4)自变量以零次幂形式出现,取值范围为使底数不为0的数.(5)自变量取值范围还应考虑实际意义.三、典例精析，掌握新知例1根据下列题意写出适当的关系式,并指出其中的变量和常量.(1)多边形的内角和W与边数n的关系.(2)甲、乙两地相距ykm,一自行车以10km/h的速度从甲地驶向乙地,试用行驶时间t(h)表示自行车离乙地的距离s(km).【分析】弄清题意,找准其中的等量关系,并注意字母表示的量不一定是变量,如(2)中的y.解:根据题意列表为:例2求下列函数中自变量的取值范围.(1)y=x2-2x-1;(2)24yx;(3)24yx;(4)3xyx;(5)1362yxx;(6)y=(x-1)0.【教学说明】观察含自变量的式子,进行归类,再依各自特征求范围.【答案】(1)一切实数;(2)x≠4;(3)x≥2;(4)x-3;(5)1≤x≤3;(6)x≠1.【归纳总结】含自变量的式子有时包含多种特征(如有分母,有被开方数等),这时要综合考虑各种要求,准确界定范围.例3小强在劳动技术课中要制作一个周长为80cm的等腰三角形,请你写出底边长y(cm)与一腰长x(cm)的函数关系式,并求出自变量x的取值范围.【分析】(1)周长等于三边的长度和,由此求得函数关系式;(2)自变量x要使腰、底为正数,即x0,y0.同时还要满足任意两边的和大于第三边,得到不等式组求解.解：由题意,得2x+y=80,所以y=80-2x.由解析式本身有意义,得x为全体实数.又由使实际问题有意义,则要考虑到边长为正数,且要满足三边关系定理,故有0,0,2.xyxy.即0,2800,2280.xxxx解得20x40.故y=80-2x(20x40).四、运用新知，深化理解1.分别指出下列关系式中的变量与常量：（1）一个物体从高处自由落下，该物体下落的距离h(m)与它下落的时间t(s)的关系式为212hgt（其中g≈9.8m/s2）；（2）等腰三角形的顶角y与底角x存在关系y=180°-2x；（3）长方体的体积V(cm3)与长a（cm），宽b(cm)，高h(cm)之间的关系式为V=abh.2.人心跳速度通常和人的年龄有关，如果a表示一个人的年龄，b表示正常情况下每分钟心跳的最高次数.经过大量试验，有如下的关系：b=0.8(220-a).（1）上述关系中的常量和变量各是什么？（2）一个15岁的学生正常情况下每分钟心跳的最高次数是多少？3.(1)齿轮每分钟转120转,如果用n表示总转数,t(分)表示时间,那么n关于t的函数关系式是_____________.(2)火车离开A站10km后,以55km/h的平均速度前进了t(h)小时,那么火车离开A站的距离s(km)与时间t(h)之间的函数关系式是_____________________.4.某水果店卖苹果,其售出质量x(kg)与售价y(元)之间的关系如表:(1)试写出售价y(元)与售出质量x(kg)之间的函数关系式；(2)计算当x=6时，y的值；(3)求售价为19.4元时，售出苹果的质量.【教学说明】用字母表示的量不一定是变量，如π、g等表示的是常量，要从变与不变的实质出发来分辨变量和常量.【答案】1.（1）时间t可以取不同值，随t的变化，h值也改变，因此时间t、距离h是变量，12、g的值始终不变，是常量.（2）底角x可以取不同值，y随x的改变而改变，因此x、y是变量，而180°与2是常量.（3）长a，宽b，高h都可以取不同的值，V的对应值也是变化的，故a、b、h、V都是变量.2.（1）变量是b、a，常量是0.8、220.（2）把a=15代入b=0.8(220-a)，得b=0.8×(220-15)=164.3.(1)n=120t;(2)s=10+55t.4.(1)根据信息:售出质量每增加1千克,售价则增加2.4元,售价中另一部分0.2元不变,可求出y与x之间的函数关系式.(2)把x=6代入函数关系式可求出y值;(3)实际上是求当y=19.4时,它所对应的x的值.解:(1)从表中提供的信息看,质量每增加1千克,售价增加2.4元,所以y=2.4x+0.2.(2)当x=6时,y=2.4×6+0.2=14.6.(3)当y=19.4时,2.4x+0.2=19.4,解得x=8.即售价为19.4元时售出苹果的质量为8kg.五、师生互动，课堂小结由学生谈本节课的收获及仍存在的疑问等.教师根据学生的发言,予以点评总结.1.布置作业：从教材“习题19.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本课时内容是学生的认识，由常量到变量的一个飞跃，教学时应根据学生的认知基础，创设丰富的现实情境，使学生感知变量存在的意义，体会变量间的相互依存关系和变化规律，掌握函数的知识.教学重在引导学生探究新知，在观察、分析后归纳、概括，注重学生的过程经历和体验，让学生领悟到现实生活中存在着多姿多彩的数学问题，提高研究与应用能力.