实验七--离散系统分析的MATLAB实现

实验七离散系统分析的MATLAB实现一、实验目的1、掌握利用MATLAB绘制系统零极点图的方法；2、掌握离散时间系统的零极点分析方法；3、学习离散系统响应的MATLAB求解方法；4、掌握用MATALB实现离散系统频率特性分析的方法；5、深刻理解离散系统的系统函数零极点对系统频响的影响，可以根据零极点知识设计简单的滤波器。二、基本原理（一）离散系统零极点线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即00()()NMijijaynibxnj（1）其中()yk为系统的输出序列，()xk为输入序列。将式（1）两边进行Z变换，00()()()()()MjjjNiiibzYzBzHzXzAzaz（2）将式（2）因式分解后有：11()()()MjjNiizqHzCzp（3）其中C为常数，(1,2,,)jqjM为()Hz的M个零点，(1,2,,)ipiN为()Hz的N个极点。系统函数()Hz的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。（二）离散系统零极点图及零极点分析1、零极点图的绘制设离散系统的系统函数为()()()BzHzAz则系统的零极点可用MATLAB的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为：p=roots(A)其中A为待求根多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p则是包含多项式所有根的列向量。如多项式为231()48Bzzz，则求该多项式根的MATLAB命令为为：A=[13/41/8];P=roots(A)运行结果为：P=-0.5000-0.2500需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分母多项式均按z的降幂次序排列；另一种是分子、分母多项式均按1z的升幂次序排列。这两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同。（1）()Hz按z的降幂次序排列：系数向量一定要由多项式最高次幂开始，一直到常数项，缺项要用0补齐。如34322()3221zzHzzzzz其分子、分母多项式系数向量分别为A=[1020]、B=[13221]。（2）()Hz按1z的升幂次序排列：分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，不足的要用0补齐，否则0z的零点或极点就可能被漏掉。如11212()11124zHzzz其分子、分母多项式系数向量分别为A=[120]、B=[11/21/4]。用roots()求得()Hz的零极点后，就可以用plot()函数绘制出系统的零极点图。下面是求系统零极点，并绘制其零极点图的MATLAB实用函数ljdt()，同时还绘制出了单位圆。函数ljdt()的程序如下：functionljdt(A,B)%Thefunctiontodrawthepole-zerodiagramfordiscretesystemp=roots(A)%求系统极点q=roots(B)%求系统零点p=p';%将极点列向量转置为行向量q=q';%将零点列向量转置为行向量x=max(abs([pq1]));%确定纵坐标范围x=x+0.1;y=x;%确定横坐标范围clfholdonaxis([-xx-yy])%确定坐标轴显示范围w=0:pi/300:2*pi;t=exp(i*w);plot(t)%画单位园axis('square')plot([-xx],[00])%画横坐标轴plot([00],[-yy])%画纵坐标轴text(0.1,x,'jIm[z]')text(y,1/10,'Re[z]')plot(real(p),imag(p),'x')%画极点plot(real(q),imag(q),'o')%画零点title('pole-zerodiagramfordiscretesystem')%标注标题holdoff例1：绘制如下系统函数的零极点图（1）32323510()375zzzHzzzz（2）11210.5()31148zHzzz解：MATLAB命令如下：（1）A=[1-37-5];B=[3-5100];ljdt(A,B)绘制的零极点图如图7-1（a）所示。（2）A=[13/41/8];B=[1-0.50];ljdt(A,B)绘制的零极点图如图7-1（b）所示。图7-1离散系统的零极点图2、离散系统零极点分析《信号与系统》课程已讲到离散系统稳定的条件为：①时域条件：离散系统稳定的充要条件为()nhn，即系统单位样值响应绝对可和；②Z域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数()Hz的所有极点均位于Z平面的单位圆内。对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式求出系统函数的极点，从而判断系统的稳定性，但对于高阶系统，手工求解则显得十分困难，这时可以利用MATLAB来实现。实现方法是调用前述的函数ljdt()绘出系统的零极点图，然后根据极点的位置判断系统的稳定性。例2：系统函数如例1所示，判断两个系统的稳定性。解：由例1绘出的零极点图可以看出两个系统的稳定性分别为：第（1）个系统不稳定；第（2）个系统稳定。（三）离散系统响应的求解除可以使用MATLAB命令lsim求解外，还可以使用命令filter来求解系统响应。例3：已知系统函数为1111121212()(10.2)(10.6)10.40.12zzHzzzzz，求（1）系统的脉冲响应()hn；（2）输入()()xnun，求系统的零状态响应()yn；（3）输入()()xnun，初始条件(1)1,(2)2yy，求系统的完全响应()yn。解：（1）计算前11个时刻的()hnN=11；b=[1,2];a=[1,0.4,-0.12];x=[1,zeros(1,N-1)];y=filter(b,a,x)（2）计算前11个时刻的零状态响应()ynN=11；b=[1,2];a=[1,0.4,-0.12];x=ones(1,N);y=filter(b,a,x)（3）计算前11个时刻的完全响应()yn注意filter(b,a,x,zi)中的初始值zi不是(1)1,(2)2yy，它可以用命令filtic来求得。N=11；b=[1,2];a=[1,0.4,-0.12];x=ones(1,N);zi=filtic(b,a,[1,2]);y=filter(b,a,x,zi);（四）离散系统频率特性分析1、离散系统的频率响应()jHe对于某因果稳定离散系统，如果激励序列为正弦序列：0()sin()()xnAnun则，根据《信号与系统》课程给出的结果有，系统的稳态响应为：()()sin[()]()jssynAHenun定义离散系统的频率响应为()()()()jjjjzeHeHzHee其中，()jHe——称为离散系统的幅频特性；()——称为离散系统的相频特性；()jHe是以2为周期的周期函数，只要分析()jHe在范围内的情况，便可分析出系统的整个频率特性。2、用MATLAB实现离散系统的频率特性分析方法设某因果稳定系统的系统函数()Hz，则系统的频响特性为：()()()()jjjjzeHeHzHeeMATLAB提供了专门用于求离散系统频响特性的函数freqz()，调用freqz()的格式有以下两种：①[H,w]=freqz(B,A,N)B和A分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量，N为正整数，返回量H则包含了离散系统频响()jHe在0~范围内N个频率等分点的值，向量w则包含0~范围内N个频率等分点。调用中若N默认，默认值为512。②[H,w]=freqz(B,A,N,’whole’)该调用格式将计算离散系统在0~2范围内N个频率等分点的频率响应()jHe的值。因此，可以先调用freqz()函数计算系统的频率响应，然后利用abs()和angle()及plot()函数，即可绘制出系统在0~或0~2范围内的频响曲线。例4：绘制如下系统的频响曲线0.5()zHzz解：MATLAB命令如下：B=[1-0.5];A=[10];[H,w]=freqz(B,A,400,'whole');Hf=abs(H)Hx=angle(H)clffigure(1)plot(w,Hf)title('离散系统幅频特性曲线')figure(2)plot(w,Hx)title('离散系统相频特性曲线')运行结果如图7-2所示。图7-2系统的幅频特性曲线和相频特性曲线3、离散系统函数的零极点对系统频域特性的影响例5：已知某系统系统函数为1121()10.5zHzzz，求系统的幅频曲线。解：b=[1,1,0];a=[1,-1,0.5];[H,w]=freqz(b,a);plot(w,abs(H));xlabel('Frequency(rad)');ylabel('Magnitude');title('Magnituderesponse');其运行结果如下图7-3所示。图7-3系统的幅频特性曲线由图7-3可见，系统的零点1jze迫使高频处的幅频响应的幅度很小。三、预习练习1、为了使实验能够顺利地进行，课前对教材中离散系统的Z域分析的相关内容和实验原理、方法及内容做好充分预习，并预期实验的结果。2、学习MATLAB软件，尤其是其中的和本次实验有关的一些函数的使用。3、预先判断实验内容3中二个系统的稳定性。4、系统响应求解的步骤和原理。5、如何设计滤波器，根据零极点设计滤波器的步骤；四、实验内容1、熟练使用和本次实验相关的一些函数，运行基本原理中的所有例题的程序，并观察和分析运行结果。2、已知一个因果LTI系统的系统函数为：12342340.035710.14280.21430.14280.03571()11.0350.82640.26050.04033zzzzHzzzzz（1）计算系统的单位脉冲响应；（2）当信号通过系统：()[1cos()cos()]()42xnnnun，计算系统的响应；3、已知离散系统的系统函数分别为：（1）2321()21zzHzz（2）2322()241zHzzzz试用MATLAB分析：①绘出系统的零极点图，根据零极点图判断系统的稳定性；②如果系统稳定，绘出幅频特性和相频特性曲线。4、根据零极点分布对系统频率特性的影响设计一个单极点单零点、因果实系数滤波器，满足下列指标，并画出其幅频特性曲线；（1）单极点单零点低通滤波器1()H，要求02()1,()0.0526,()0;HHH（2）单极点单零点高通滤波器2()H，要求02()0,()0.0526,()1;HHH（3）详细列出根据零极点设计滤波器的步骤；五、仪器设备PC机、MALTAB软件六、思考题1、比较实验内容中3（1)和3（2)的零极点分布与相应的系统函数，能得出什么结论？2、若把这两个滤波器相并联构成的系统是个什么类型的滤波器？3、系统函数零极点对系统频响的影响？4、通过对系统函数零极点的分析，可以分析出离散系统具有哪几个方面的特性？5、在MATLAB中用于离散系统求解的命令有哪些？七、实验报告要求1、计算实验内容2中给出的系统的单位脉冲响应和当信号：()[1cos()cos()]()42xnnnun通过系统时系统的零状态响应；2、绘出实验内容3中二个系统的零极点图，根据零极点图判断系统的稳定性；绘出稳定系统的幅频特性和相频特性曲线；3、对于实验内容4，要求写出设计满足给定指标要求的滤波器的步骤，并画出其幅频特性曲线；4、回答思考题，并对实验进行总结，写出结论和心得体会。4、根据零极点分布对系统频率特性的影响设计一个单极点单零点、因果实系数滤波器，满足下列指标，并画出其幅频特性曲线；(1)单极点单零点低通滤波器1()H，要求02()1,()0.0526