搜索
28.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形一、新课导入1.课题导入如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的交点为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2米，AB=54.5米，你能根据上述条件求出图中∠A的度数吗？这就是我们这节课要研究的问题.2.学习目标（1）知道解直角三角形的概念，理解直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系.（2）能综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.3.学习重、难点重点：直角三角形中除直角以外的五个元素之间的关系，解直角三角形.难点：合理选用三角函数关系式解直角三角形.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P72~P73例1上面的内容.（2）自学时间：8分钟.（3）自学要求：完成探究提纲.（4）探究提纲：①在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把由直角三角形中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.②在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：a.两锐角互余,即∠A＋∠B＝90°.b.三边关系满足勾股定理，即a2+b2=c2.c.边角关系：sinA＝ac，sinB＝bc；cosA＝bc,cosB＝ac；tanA＝ab,tanB＝ba.③已知直角三角形中除直角外的五个元素中的几个元素，才能求出其余所有未知元素？（提示：可从“确定一个直角三角形，至少需要哪些条件？”来思考）已知其中两个元素（其中至少有一个是边）.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生自学提纲的答题情况（特别是第②、③题）.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨、纠正错误.4.强化（1）直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系（要板书出来）.（2）解直角三角形的条件：必须已知除直角外的两个元素（其中至少有一个是边）.①已知两边：a.两直角边；b.一直角边和斜边.②已知一边和一锐角：a.一直角边和一锐角；b.斜边和一锐角.1.自学指导（1）自学内容：教材P73例1、例2.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：先独立解答，再同桌之间互评互纠.（4）自学参考提纲：①在教材P73例1中，已知的元素是两条直角边AC、BC，需求出的未知元素是：斜边AB、锐角A、锐角B.方法一：∵tanA=BCAC=3,∴∠A=60°,∠B=90°-∠A=30°.∵AC=2，BC=6,∴AB=22.方法二：∵AC=2，BC=6,∴由勾股定理可得AB=22.sinA=BCAB=32，∴∠A=60°,∴∠B=90°-∠A=30°.这里∠B的度数也可用三角函数来求，你会吗？②比较上述解法，体会其优劣.③在教材P73例2中，已知的元素是一直角边b和一锐角B，则要求的未知元素有直角边a、斜边c、锐角A.④例2还有别的解法吗？请试一试，并留意你的答案与例题的答案是否存在误差.⑤练习：在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：a.c=202,b=20；b.∠B=60°，c=14；c.∠B=30°，a=7.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：关注学生解直角三角形的思路是否清晰，是否会选择恰当的三角函数关系式.②差异指导：根据学情对学习有困难的学生进行个别或分类指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：解直角三角形的思路：首先，明确已知什么，要求的元素有哪些；其次，合理选择三角函数关系式，并正确进行变形（所选的关系式必须要有两个已知元素）；第三，尽可能选用题目的原始数据，以减少误差.三、评价1.学生自我评价：这节课你学到了哪些知识？还有哪些疑问？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学生的学习态度、积极性、小组交流状况等方面进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时以自主探究和小组讨论为主，以教师归纳讲解为辅，激发学生自主学习的兴趣和能力.通过综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形的过程，使学生进一步巩固和深化锐角三角函数和直角三角形知识的理解，培养学生数形结合的思想和分析问题、解决问题的能力.一、基础巩固（70分）1.(40分)已知在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）若a=43,b=23,则c=215；（2）若a=10，c=102，则∠B=45°；（3）若b=35，∠A=45°，则a=35；（4）若c=20，∠A=60°，则a=103.2.(10分)在△ABC中，AC=2，AB=3，∠A=30°，则△ABC的面积等于（B）A.332B.32C.3D.333.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，sinB=23，那么AB的长是9.4.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长.（结果保留根号）解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,∴BC=cosABB=212=4,AC=AB·tanB=23.∴△ABC的周长为2+23+4=6+23.二、综合应用（20分）5.(20分)在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=125，△ABC的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精确到0.1cm）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=BCAC=125，AB+AC+BC=45cm，∴AC=45×551213=152(cm),sinA=1213.∴CD=AC·sinA=152×1213≈6.9(cm).三、拓展延伸（10分）6.(10分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBC=15，求AD的长.解：在Rt△ACD中,BC=AC=6,tan∠DBC=15,∴CD=BC·tan∠DBC=6×15=65.∴AD=AC-CD=6-65=245.