2.1.矩阵的概念ppt

§2.1矩阵的概念第二章矩阵§2.1矩阵的概念第二章矩阵矩阵是线性代数的主要内容之一，是解决许多实际问题的重要工具。“矩阵”是由Sylvester(1814—1894)首先使用的。是为将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。英A.Caley,(1821---1895)被公认为矩阵论的创立者。G.Frobenius（1849---1917）贡献巨大。§2.1矩阵的概念第二章矩阵本章将学习矩阵的基本知识以及利用矩阵求解线性方程组。它属于线性代数的一部分，是进行网络设计、电路分析的强有力的数学工具，也是利用计算机进行数据处理与分析的数学基础，它不仅在经济模型中有着很实际的应用，而且目前国际认可的最优化的科技应用软件——MATLAB就是以矩阵作为基本的数据结构，从矩阵的数据分析、处理发展起来的被广泛应用的软件包。§2.1矩阵的概念第二章矩阵第二章矩阵矩阵的概念矩阵的计算逆矩阵矩阵的初等变换分块矩阵矩阵的秩§2.1矩阵的概念第二章矩阵第一节矩阵的概念矩阵的概念几个特殊矩阵矩阵相等小结§2.1矩阵的概念第二章矩阵案例1某企业生产4种产品，各种产品的季度产值（单位：万元）如下表：季节产值产品1产品2产品3产品4180587578298708584390759090488708280一、矩阵的概念§2.1矩阵的概念第二章矩阵这个数表80587578987085849075909088708280具体描述了这家企业各种产品各季度的产值，同时也揭示了产值随季节变化的规律的季增长率及年产量等情况。§2.1矩阵的概念第二章矩阵案例2（运输问题模型）设某物资要从5个产地运往4个销地，各产地运往各销地的数量如表，170212016222619112818301026301415202324112233445产地地销销量§2.1矩阵的概念第二章矩阵案例3（数表分析）某班同学某学期成绩表组成了一张二维数表，研究该数表可获得该班同学的有关信息。事实上应用数表可研究的问题很多。所以有必要对数表进行研究。学号线代概率英语美学2005300010018992868220053000100276858785……………20053000103090877577§2.1矩阵的概念第二章矩阵案例4[投资组合]某人用60万元投资A、B两个项目，其中项目A的收益率为7％，项目B的收益率为12％，最终总收益为5.6万元．问他在A、B项目上各投资了多少万元？解：设他在A、B项目上各投资了x1、x2万元，根据题意，建立如下的线性方程组12120.070.125.660xxxx§2.1矩阵的概念第二章矩阵方程组消元的过程12120.070.125.6(1)60(2)xxxx增广矩阵变换的过程0.070.125.66011(1)、(2)互换121260(1)0.070.125.6(2)xxxx第一行与第二行互换60110.070.125.6100×(2)121260(1)712560(2)xxxx100乘以第二行6011756012(1)§2.1矩阵的概念第二章矩阵(2)-(1)×712260(1)5140(2)xxx第一行的-7倍加到第二行6011051401/5×(2)12260(1)28(2)xxx1/5乘以第二行60110281(1)-(2)123228xx第二行的-1倍加到第一行03210281(6)§3.1矩阵的初等变换第三章矩阵§2.1矩阵的概念第二章矩阵mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111案例线性方程组的系数按方程组中的相对位置排出矩形表：mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211§2.1矩阵的概念第二章矩阵nnnnnnnbaaabaaabaaa21222221111211线性方程组的系数与常数项按原位置可排为对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.§2.1矩阵的概念第二章矩阵nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121111,,,的线性变换。其中案例4线性变换个变量nnxxx,,,21与m个变量myyy,,,21之间的关系式表示一个从变量nxxx,,,21到变量myyy,,,21ija为常数。上述线性变换的系数ija构成矩阵.)(nmijaA§2.1矩阵的概念第二章矩阵给定了线性变换，它的系数所构成的矩阵（称为系数矩阵）也就确定。反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定。在这个意义上说，线性变换和矩阵之间存在着一一对应关系。§2.1矩阵的概念第二章矩阵1.矩阵的定义ija由个数，排成的m行n列的数表叫做m行n列矩阵（或矩阵）；其中叫做矩阵的元素；i,j分别叫做的行标和列标。ijanmnmijamnmmnnaaaaaaaaa212222111211§2.1矩阵的概念第二章矩阵矩阵通常用大写字母A、B、C等表示，mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211简记为nmijaA)(例如§2.1矩阵的概念第二章矩阵2、几种特殊矩阵(1)n阶方阵（m=n时）：(2)行矩阵（m=1时）：nnnnnnaaaaaaaaa212222111211),,,(21naaambbb21nm0(3)列矩阵（n=1时）：(4)零矩阵：或0主对角线§2.1矩阵的概念第二章矩阵（5）对角方阵（除主对角线外，其余元素均为0的方阵）nnaaa0000002211600010002如例如（6）数量矩阵：主对角线上元素全相等为的对角矩阵：aaaaL600010002222§2.1矩阵的概念第二章矩阵(7)单位矩阵：主对角线上元素全为1的对角矩阵，记为（或）。即000000111nE1000100013E例如nEI§2.1矩阵的概念第二章矩阵（8）上三角矩阵：下三角矩阵：nnnnaaaaaa022211211nnnnaaaaaa212221110（9）对称矩阵n阶方阵元素ijjiaa=§2.1矩阵的概念第二章矩阵例1.设平面直角坐标系xOy绕原点O旋转角α后，得到新的坐标系x1Oy1，如下图所示。平面上一点A在这两个坐标系中的坐标(x,y)和(x1,y1)之间有关系111111xxcosysinyxsinycoscossinsincos坐标变换该线性方程组的系数矩阵称为(阵。矩)xOyxOy§2.1矩阵的概念第二章矩阵nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121111,,,的线性变换。其中案例4线性变换个变量nnxxx,,,21与m个变量myyy,,,21之间的关系式表示一个从变量nxxx,,,21到变量myyy,,,21ija为常数。上述线性变换的系数ija构成矩阵.)(nmijaA§2.1矩阵的概念第二章矩阵1234123PPPPM0.250.300.400.35M0.350.200.150.20M0.150.250.200.10投入—产出矩阵每列之和与1的差值为生产该类产品的利润。1234123jiiijjP,P,P,PM,M,MP1aMa例2投入－产出矩阵生产四种产品需要三种原材料。假如生产万元需原材料的价值为万元，得到(：)。例如A§2.1矩阵的概念第二章矩阵12m2nx,x,,x,a,a,,a设有城市它们之间有高速公路相连(这些公路是单向道，方向用箭头表示)，如图定义1例31x2x3x4x1a4a2a3a5a§2.1矩阵的概念第二章矩阵ijijijijij1xamxaxa=(m)M若是的起点若是的终点若不是的端点矩阵称为该图的定义。关联矩阵-101x2x3x4x1a4a2a3a5a123451234aaaaax10010x11001=x01100x00111M-----上图的关联矩阵为§2.1矩阵的概念第二章矩阵例4甲、乙二人玩掷硬币的游戏。两人同时各掷一枚硬币。若两枚硬币以相同的一面向上，乙付给甲一元，反之甲付给乙一元。则可用如下矩阵表示各种情况下甲的收益，叫做甲的收益矩阵。甲乙正面反面正面反面1-1-11§2.1矩阵的概念第二章矩阵例如9348314736521与为同型矩阵.1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.二、矩阵的相等§2.1矩阵的概念第二章矩阵例设,131,213321zyxBA.,,,zyxBA求已知解,BA.2,3,2zyx2.两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即ijijbBaA与,,,2,1;,,2,1njmibaijij则称矩阵相等,记作BA与.BA§2.1矩阵的概念第二章矩阵三、小结(1)矩阵的概念mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211列的一个数表行nm§2.1矩阵的概念第二章矩阵(2)特殊矩阵方阵;nm行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;零矩阵..100010001,21naaaB,,,,21naaaAn00000021§2.1矩阵的概念第二章矩阵思考题？矩阵与行列式的有何区别?矩阵与行列式有本质的区别：行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同