江西中考特色专题三角形中的分类讨论思想及设计作图

江西中考特色专题：三角形中的分类讨论思想及设计作图◆类型一三角形中的分类讨论思想1．等腰三角形的一个外角等于100°，则与这个外角不相邻的两个内角的度数分别为【易错2①】()A．40°，40°B．80°，20°C．80°，80°D．50°，50°或80°，20°2．如图，点A的坐标为(2，2)，若点P在坐标轴上，且△APO为等腰三角形，则满足条件的点P有()A．4个B．6个C．7个D．8个第2题图第3题图3．(2017·崇仁县月考)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，腰AC上的中线BD将三角形的周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为________．【易错1】4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数可能为________．【易错2②】5．(2017·吉安期末)某等腰三角形的腰长为5，且一边上的高为4，则底边长为____________．6．一个大等腰三角形能被分割成两个小等腰三角形，试求这个大等腰三角形顶角的度数．◆类型二三角形中的设计作图7．(2016·江西模拟)如图①和图②均是由边长为1的小正方形组成的网格，按要求用实线画出顶点在格点上的图形．要求：(1)在图形①中画出一个面积为2.5的等腰三角形ABC；(2)在图②中画出一个直角三角形，使三边长均为不同的无理数．8．(2016·吉安期中)(1)下列仅用无刻度的直尺就能完成作图的是________；(填写序号即可)①延长EF至点H，使EH＝3厘米②经过点P、点K作直线PK③作∠O的平分线OG(2)如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是边AB，AC上的两点，且BM＝CN，请用无刻度的直尺画出线段BC的垂直平分线．9．(2016·瑞昌期中)如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且点C是线段AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成以下作图：(1)作BC的中点P；(2)过点C作AD的垂线．10．(2016·江西中考)如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度的直尺，②保留必要的画图痕迹．(1)在图①中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；(2)在图②中画出线段AB的垂直平分线．参考答案与解析1．D2．D解析：∵点A的坐标为(2，2)，∴△OAP的边OA＝22，这条边可能是底边也可能是腰．①当OA是底边时，点P是OA的垂直平分线与坐标轴的交点，交点的坐标是(2，0)和(0，2)；②当OA是腰时，当O是顶角顶点时，以O为圆心，以OA为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是(22，0)，(－22，0)，(0，22)，(0，－22)；③当A是顶角顶点时，以A为圆心，以AO为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是(4，0)，(0，4)．综上可知满足条件的点P共有8个，故选D.3．16或8解析：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD＝CD＝x，则AB＝AC＝2x.又∵BD将三角形的周长分为15和21两部分，∴可分为两种情况讨论：①AB＋AD＝15，即3x＝15，解得x＝5，此时BC＝21－x＝21－5＝16；②AB＋AD＝21，即3x＝21，解得x＝7，此时BC＝15－x＝8.经验证，这两种情况都是成立的．∴这个三角形的底边长为8或16.4．50°或130°解析：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图①，高与右边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°，可得顶角为50°；②当等腰三角形为钝角三角形时，如图②，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，由图可以得出等腰三角形的顶角的补角为50°，所以三角形的顶角为130°.故顶角的度数为50°或130°.5．6或25或456．解：分四种情况讨论：(1)如图①，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD.则∠B＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD，∴∠CDA＝∠B＋∠BAD＝2∠B，∴∠CAB＝∠CAD＋∠BAD＝∠CDA＋∠BAD＝3∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°，∴∠BAC＝108°；(2)如图②，△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝CD.则∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB，∴∠BAC＝2∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，∴∠BAC＝90°；(3)如图③，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD＝BC.则∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C.∴∠BDC＝∠A＋∠DBA＝2∠A，∴∠C＝∠BDC＝2∠A＝∠ABC.∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°；(4)如图④，△ABC中，AB＝AC，BD＝AD，CD＝BC.设∠A＝x，∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠A＝x，∴∠BDC＝∠A＋∠DBA＝2x.∵AB＝AC，∴∠ABC＝180°－x2，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝180°－x2－x.∵CD＝BC，∴∠BDC＝∠DBC，即2x＝180°－x2－x，∴x＝180°7.综上所述，这个大等腰三角形顶角的度数为108°或90°或36°或180°7.7．解：(1)如图①所示，△ABC为所求三角形；(2)如图②所示，直角三角形为所求．(答案均不唯一)8．解：(1)②(2)如图，AF为线段BC的垂直平分线．9．解：(1)如图①所示，点P即为所求；(2)如图②所示，CQ即为所求．10．解：(1)如图①所示，∠ABC＝45°(AB，AC是小长方形的对角线)；(2)如图②所示，点M是长方形AFBE的对角线的交点，点N是正方形ABCD的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线．