4解题技巧专题共顶点的等腰三角形

解题技巧专题：共顶点的等腰三角形——形成精准思维模式，快速解题◆类型一共顶点的等腰直角三角形1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．(1)求证：AD＝CE；(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．2．如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD，延长CA至点E，使AE＝AC，延长CB至点F，使BF＝BC.连接BD，AD，AF，DF，EF.延长DB交EF于点N.求证：(1)AF＝AD；(2)EF＝BD.◆类型二共顶点的等边三角形3．如图，△APB与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，交于点O，则∠AOB的度数为________．5．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.(1)△DBC和△EAC全等吗？请说明理由；(2)试说明AE∥BC的理由；(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，其他条件不变，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．参考答案与解析1．(1)证明：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE，∴AD＝CE.(2)解：垂直．理由如下：延长AD分别交BC和CE于G和F.由(1)知△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE.∵∠BAD＋∠ABC＋∠BGA＝∠BCE＋∠AFC＋∠CGF＝180°，∠BGA＝∠CGF，∴∠AFC＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE.2．证明：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝180°－∠ABC＝135°，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF＝∠ACD.∵CB＝CD，CB＝BF，∴BF＝CD，∴△ABF≌△ACD(SAS)，∴AF＝AD.(2)由(1)知△ABF≌△ACD，AF＝AD，∴∠FAB＝∠DAC.∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，∠EAB＝∠EAF＋∠FAB＝90°，∴∠EAF＝∠BAD.∵AE＝AC，AB＝AC，∴AE＝AB，∴△AEF≌△ABD(SAS)，∴EF＝BD.3．D4．120°解析：设AC与BD交于点H.∵△ACD，△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD＋∠ACB＝∠BCE＋∠ACB，即∠DCB＝∠ACE，∴△DCB≌△ACE，∴∠CDB＝∠CAE.∵∠DCH＋∠CHD＋∠BDC＝180°，∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，∠DHC＝∠OHA，∴∠AOH＝∠DCH＝60°，∴∠AOB＝180°－∠AOH＝120°.5．解：(1)△DBC和△EAC全等．理由如下：∵△ABC和△EDC都是等边三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°－∠ACD，∠ACE＝60°－∠ACD，∴∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，∵BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，∴△DBC≌△EAC(SAS)．(2)由(1)知△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.(3)仍有AE∥BC.证明如下：∵△ABC，△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，∵BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.