河南特色题型专题三角形中的最值及与尺规作图结合的问题

河南特色题型专题：三角形中的最值及与尺规作图结合的问题◆类型一与尺规作图结合的问题1．(2017·濮阳一模)如图，在△ABC中，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是()2．(2017·襄阳中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D.再分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为()A．5B．6C．7D．8第2题图第3题图3．(2017·河南模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是AC的中点，连接BD，按以下步骤作图：①分别以B，D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q；②作直线PQ交AB于点E，交BC于点F，则BF的长为()A.56B．1C.136D.524．(2017·郑州校级月考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，有下列说法：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.其中正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个第4题图第5题图◆类型二三角形中的最值5．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB的中点，点D，E分别在AC，BC上运动，且保持AD＝CE.连接DE，DF，EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是()A．①②③B．①④C．①③④D．③④6．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C.若P是BC边上的动点，则DP长的最小值为________．、第6题图第7题图7．如图，在等边△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC的中点，BC＝8.在AD上有一动点Q，则QC＋QE的最小值为________．8．★(2017·贵阳中考改编)如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A′EF，求A′C长的最小值．参考答案与解析1．D2.B3.C4.D5．C解析：连接CF.∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝8，∴∠FCB＝∠A＝45°，CF＝AF＝FB＝42.∵AD＝CE，∴△ADF≌△CEF，∴EF＝DF，∠CFE＝∠AFD.∵∠AFD＋∠CFD＝90°，∴∠CFE＋∠CFD＝∠EFD＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确；∵△DEF是等腰直角三角形，∴当DF最小时，DE也最小，即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF＝4.∴DE＝2DF＝42，故②错误；∵△ADF≌△CEF，∴S△ADF＝S△CEF，∴S四边形CDFE＝S△AFC＝12×42×42＝16，即四边形CDFE的面积保持不变，故③正确；∵S△AFC＝S四边形CDFE＝S△CDE＋S△DEF，∴当△CDE的面积最大时，△DEF的面积最小．此时S△DEF＝12×4×4＝8，∴S△CDE＝S△AFC－S△DEF＝16－8＝8，故④正确．综上可知，正确的结论为①③④，故选C.6．47．43解析：连接BE，∵△ABC是等边三角形，BC＝8，∴AC＝8.∵AD平分∠BAC，∴AD是BC的垂直平分线，即QB＝QC，∴BE的长即为QC＋QE的最小值．∵E是AC的中点，∴BE＝BC2－CE2＝82－42＝43，∴QC＋QE的最小值是43.8．解：连接CE.根据折叠可知A′E＝AE＝12AB＝1.∵四边形ABCD是长方形，∴BC＝AD＝3，∠B＝90°.在Rt△BCE中，∵BE＝12AB＝1，BC＝3，∴CE＝BE2＋BC2＝10.∵CE＝10，A′E＝1，∴当点A′在CE上时，A′C取最小值，最小值为CE－A′E＝10－1.