导数的几何意义

§3．1．3导数的几何意义【学情分析】：上一节课已经学习了导数定义，以及运用导数的定义来求导数。【教学目标】：1.了解曲线的切线的概念奎屯王新敞新疆2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法．3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程奎屯王新敞新疆【教学重点】：理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法.【教学难点】：发现、理解及应用导数的几何意义,会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、曲线的切线及切线的斜率：圆与圆锥曲线的切线定义：与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线。曲线的切线如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)nnnPxfxn沿着曲线()fx趋近于点00(,())Pxfx时，割线nPP的变化趋势是什么？我们发现,当点nP沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线nPP趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.问题：⑴割线nPP的斜率nk与切线PT的斜率k有什么关系？⑵切线PT的斜率k为多少？容易知道，割线nPP的斜率是00()()nnnfxfxkxx,当点nP沿着曲线无限接近点P时，nk为课题引入作铺垫.图3.1-2无限趋近于切线PT的斜率k，即0000()()lim()xfxxfxkfxx说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在0xx处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.二、导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点00(,())xfx处的切线的斜率，即0000()()()limxfxxfxfxkx说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标;②求出函数在点0x处的变化率0000()()()limxfxxfxfxkx，得到曲线在点00(,())xfx的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.指导学生理解导数的几何意义，可以讨论三、导函数由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,0()fx是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：()fx或y，即:0()()()limxfxxfxfxyx注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．函数()fx在点0x处的导数0()fx、导函数()fx、导数之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数0()fx，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数3）函数()fx在点0x处的导数'0()fx就是导函数()fx在0xx处的函数值，这也是求函数在点0x处的导数的方法之一。四、典例分析例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.（2）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.解：（1）222100[(1)1](11)2|limlim2xxxxxxyxx,通过例子，更深入理解导数的概念所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)yx即20xy（2）因为222211113313(1)|limlimlim3(1)611xxxxxxyxxx所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为36(1)yx即630xy例2、求曲线f(x)=31x3－x2+5在x=1处的切线的倾斜角.分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率k=tana，求出倾斜角a.解：∵tana=xfxfxxfxxfxx)1()1(lim)()(lim000032011(1)(1)5(15)33limxxxx301()3limxxxx201lim[()1]13xx∵a∈［0，π)，∴a=43π.∴切线的倾斜角为43π.例3．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2()4.96.510hxxx，根据图像，请描述、比较曲线()ht在0t、1t、2t附近的变化情况．解：我们用曲线()ht在0t、1t、2t处的切线，刻画曲线()ht在上述三个时刻附近的变化情况．（1）当0tt时，曲线()ht在0t处的切线0l平行于x轴，所以，在0tt附近曲线比较平坦，几乎没有升降．（2）当1tt时，曲线()ht在1t处的切线1l的斜率1()0ht，所以，在1tt附近曲线下降，即函数2()4.96.510hxxx在1tt附近单调递减．（3）当2tt时，曲线()ht在2t处的切线2l的斜率2()0ht，所以，在2tt附近曲线下降，即函数2()4.96.510hxxx在2tt附近单调递减．从图3.1-3可以看出，直线1l的倾斜程度小于直线2l的倾斜程度，这说明曲线在1t附近比在2t附近下降的缓慢．例4．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()cft(单位：/mgmL)随时间t（单位：min）变化的图象．根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()ft在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线()ft在此点处的切线的斜率．如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．作0.8t处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：0.480.911.41.00.7k所以(0.8)1.4f下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：t0.20.40.60.8药物浓度瞬时变化率'()ft0.40-0.7-1.4五、课堂小结导数的几何意义，怎么求曲线的切线。补充题目:1．导数)(0/xf的本质是什么？请写数学表达式。导数的本质是函数)(xf在处的即：２．函数)(xf平均变化率xxfxxf)()(00的几何意义是什么，请在函数图像中画出来。y)(0xfO0xx3．导数)(0/xf的几何意义是什么？导数)(0/xf的几何意义是4．在函数105.69.4)(2ttth的图像上，（1）用图形来体现导数3.3)1(/h，6.1)5.0(/h的几何意义，并用数学语言表述出来。（2）请描述、比较曲线)(th在210,,ttt.附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在43,tt附近呢？（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导)(xf1）平均变化率xxfxxf)()(00的几何意义：2）当0x时，观察图形变化。htO3t4t0t1t2t数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）5．如图表示人体血管中的药物浓度)(tfc（单位：mLmg/）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计8.0,6.0,4.0,2.0t（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)t0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）(以上几题可以让学生在课堂上完成)6.求下列曲线在指定点处的切线斜率.(1)y=－3x+2,x＝２处奎屯王新敞新疆（２）y＝11x，x＝０处．答案：(1)k=－１２，（２）k=－１奎屯王新敞新疆7．已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率.(2)点A处的切线方程.解：(1)k=xxxfxfxx220012)1(2lim)1()1(lim4)24(lim)(24lim020xxxxxx∴点A处的切线的斜率为4.(2)点A处的切线方程是y－2=4(x－1)即y=4x－28.求曲线y=x2+1在点P(－2，5)处的切线方程.解：k=xxxfxfxx1)2(1)2(lim)2()2(lim22004)4(lim)(4lim020xxxxxx∴切线方程是y－5=－4(x+2)，即y=－4x－3.