江西中考特色专题平行四边形中的设计作图与几何探究问题

江西中考特色专题：平行四边形中的设计作图与几何探究问题◆类型一平行四边形中的设计作图1．(2016·吉林中考)图①，图②都是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点．(1)请在图①，图②中，以4个标注点为顶点，各画一个平行四边形(两个平行四边形不全等)；(2)图①中所画的平行四边形的面积为________．2．如图，已知∠AOB，OA＝OB，点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线(保留作图痕迹，不写作法)，并说明理由．3．(2017·吉州区期末)如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC上，且AE＝EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度的直尺画图(保留作图痕迹)．(1)在图①中，画出∠DAE的平分线；(2)在图②中，画出∠AEC的平分线．4．(2017·吉安期末)如图①，②，在▱ABCD中，AC为对角线，AC＝BC，AE是△ABC的中线．(1)在图①中用无刻度的直尺画出△ABC的高CH；(2)在图②中用无刻度的直尺画出△ADC的高AK.◆类型二代几结合问题5．在▱ABCD中，对角线AC，BD交于O点，AC＝6，BD＝2，设AB的长为x，将x的取值范围在数轴上表示正确的是()6．如图①，在▱ABCD中，∠B＝120°，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为xcm，△PAB的面积为ycm2，y关于x的函数的图象如图②所示，则图②中H点的横坐标为()A．11B．14C．8＋323D．8＋33第6题图第7题图7．(2016·无锡中考)如图，已知▱OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为________．8．已知直线y＝2x＋4与x轴、y轴的交点分别为A，B，y轴上点C的坐标为(0，2)，找一点P，使得以P，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为____________________．9．在平面直角坐标系中，▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C(4，0)，B(6，2)，直线y＝2x＋1以每秒1个单位的速度向下平移，经过________秒该直线可将▱OABC的面积平分．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8，BC＝16，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设运动时间为t秒．(1)当t为多少时，四边形ABQD是平行四边形？(2)当t为多少时，四边形ABQP是平行四边形？◆类型三几何探究问题11．(2016·常州中考)如图，在△APB中，AB＝2，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是________．第11题图第12题图12．如图，在▱ABCD中，分别以AB，AD为边向外作等边△ABE和等边△ADF，延长CB交AE于点G，点G落在点A，E之间，连接EF，CF，CE.则以下四个结论：①CG⊥AE；②△CDF≌△EBC；③∠CDF＝∠EAF；④△ECF是等边三角形．其中一定正确的是__________(填序号)．13．(2016·牡丹江中考)在▱ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD＝BD.(1)如图①，求证：BP＋BQ＝BC；(2)请直接写出图②，图③中BP，BQ，BC三者之间的数量关系，不需要证明；(3)在(1)和(2)的条件下，若DQ＝1，DP＝3，则BC＝________．14．(2016·龙东中考)已知点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A，C重合)，分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点．(1)当点P与点O重合时，如图①，易证OE＝OF(不需证明)；(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE＝30°时，如图②、图③的位置，猜想线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图②、图③的猜想，并选择一种情况给予证明．(提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)参考答案与解析1．解：(1)如图①，图②所示．(2)62．解：如图，OP是∠AOB的平分线．理由如下：由四边形AEBF是平行四边形可得AP＝BP.又因为OA＝OB，则OP是等腰三角形OAB底边AB上的中线，所以OP是∠AOB的平分线．3．解：(1)如图①所示，AC即为所求．(2)如图②所示，EO即为所求．4．解：(1)△ABC的高CH如图①所示．(2)△ADC的高AK如图②所示．5．C6．B解析：作CM⊥AB于M.当点P在CD上运动时，△PAB的面积不变，由图②得BC＝4cm，∵∠ABC＝120°，∴∠CBM＝60°，∴∠MCB＝30°，∴BM＝12BC＝2cm，∴CM＝23cm.∵△ABC的面积＝12AB·CM＝12AB×23＝63，∴AB＝6cm，∴OH＝4＋6＋4＝14(cm)，∴点H的横坐标为14.故选B.7．5解析：当点B在x轴上时，对角线OB长最小．如图所示，直线x＝1与x轴交于点D，直线x＝4与x轴交于点E，根据题意得∠ADO＝∠CEB＝90°，OD＝1，OE＝4.∵四边形OABC是平行四边形，∴OA＝BC，OA∥BC，∴∠AOD＝∠CBE.在△AOD和△CBE中，∠AOD＝∠CBE，∠ADO＝∠CEB，OA＝BC，∴△AOD≌△CBE(AAS)，∴OD＝BE＝1，∴OB＝OE＋BE＝5.8．(－2，－2)或(－2，2)或(2，6)解析：∵直线y＝2x＋4，当y＝0时，x＝－2.当x＝0时，y＝4，∴A(－2，0)，B(0，4)，∴OB＝4，OA＝2.∵点C的坐标为(0，2)，∴OC＝2，∴BC＝OB－OC＝2.当AC为对角线时，点P的坐标为(－2，－2)；当AB为对角线时，点P的坐标为(－2，2)；当BC为对角线时，点P的坐标为(2，6)．综上所述，以P，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形时，点P的坐标为(－2，－2)或(－2，2)或(2，6)．9．6解析：连接AC，BO，交于点D，如图所示．当直线y＝2x＋1经过点D时，该直线可将▱OABC的面积平分．∵四边形AOCB是平行四边形，∴BD＝OD.∵B(6，2)，∴D(3，1)．设直线y＝2x＋1平移后的直线为y＝2x＋b，∵过D(3，1)，∴2×3＋b＝1，∴b＝－5，∴y＝2x－5，∴直线y＝2x＋1要向下平移6个单位，∴时间为6秒．10．解：(1)当四边形ABQD为平行四边形时，AD＝BQ＝8.∵点Q速度为2个单位/秒，∴CQ＝2t，BQ＝BC－CQ＝16－2t，∴16－2t＝8，解得t＝4，即当t为4秒时，四边形ABQD是平行四边形；(2)当四边形ABQP为平行四边形时，AP＝BQ.∵点P，Q的速度分别为1个单位/秒、2个单位/秒，∴AP＝t，BQ＝16－2t，∴t＝16－2t，解得t＝163，即当t为163秒时，四边形ABQP是平行四边形．11．1解析：延长EP交BC于点F，∵∠APB＝90°，∠APE＝∠BPC＝60°，∴∠EPC＝150°，∴∠CPF＝180°－150°＝30°＝12∠CPB，∴PF平分∠BPC.又∵PB＝PC，∴PF⊥BC.设Rt△ABP中，AP＝a，BP＝b，则CF＝12CP＝12BP＝12b，a2＋b2＝22＝4.∵△APE和△ABD都是等边三角形，∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°，即∠EAD＋∠DAP＝∠PAB＋∠DAP，∴∠EAD＝∠PAB，∴△EAD≌△PAB(SAS)，∴ED＝PB＝CP，同理可得△APB≌△DCB(SAS)，∴EP＝AP＝CD，∴四边形CDEP是平行四边形，∴四边形CDEP的面积为EP·CF＝a·12b＝12ab.又∵(a－b)2＝a2－2ab＋b2≥0，∴2ab≤a2＋b2＝4，∴12ab≤1，即四边形PCDE面积的最大值为1.12．②③④解析：∵在等边△ABE中，顶角平分线、底边上的中线、高是同一条线段，∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，而题目缺少这个条件，∴CG⊥AE不能求证，故①错误；∵△ABE、△ADF是等边三角形，∴FD＝AD，BE＝AB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝DC，∠ABC＝∠CDA，∴FD＝BC，BE＝DC.∵∠FDA＝∠ABE＝60°，∴∠CDF＝∠EBC，∴△CDF≌△EBC，故②正确；∵∠FAE＝∠FAD＋∠DAB＋∠BAE＝60°＋(180°－∠CDA)＋60°＝300°－∠CDA，∠FDC＝360°－∠FDA－∠ADC＝360°－60°－∠ADC＝300°－∠CDA，∴∠CDF＝∠EAF，故③正确；由②③可得∠CBE＝∠EAF＝∠CDF.∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，∴△EAF≌△EBC，∴∠AEF＝∠BEC，∴∠AEF＋∠FEB＝∠BEC＋∠FEB＝∠AEB＝60°，∴∠FEC＝60°.由②可得△CDF≌△EBC，∴CF＝CE，∴△ECF是等边三角形，故④正确；∴正确的有②③④.13．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD.∵AP∥CQ，∴∠APQ＝∠CQB，∴△ADP≌△CBQ，∴DP＝BQ.∵AD＝BD，AD＝BC，∴BD＝BC.∵BD＝BP＋DP，∴BP＋BQ＝BC.(2)解：图②：BQ－BP＝BC，图③：BP－BQ＝BC解析：图②同(1)可证△ABP≌△CDQ，∴BP＝DQ，∴BC＝AD＝BD＝BQ－DQ＝BQ－BP；图③同理得△ADP≌△CBQ，∴PD＝BQ，∴BC＝AD＝BD＝BP－PD＝BP－BQ.(3)解：2或4解析：图①，BC＝BP＋BQ＝DQ＋PD＝1＋3＝4；图②，BC＝BQ－BP＝PD－DQ＝3－1＝2，∴BC＝2或4.14．解：(2)图②中的结论为CF＝OE＋AE，图③中的结论为CF＝OE－AE.选图②中的结论，证明如下：延长EO交CF于点G.∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠GCO.∵点O为AC的中点，∴AO＝CO.在△EOA和△GOC中，∠EAO＝∠GCO，AO＝CO，∠AOE＝∠COG，∴△EOA≌△GOC，∴EO＝GO，AE＝CG.在Rt△EFG中，∵EO＝OG，∴OE＝OF＝GO.∵∠OFE＝30°，∴∠OFG＝90°－30°＝60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF＝GF.∵OE＝OF，∴OE＝FG.∵CF＝FG＋CG，∴CF＝OE＋AE.选图③的结论，证明如下：延长EO交FC的延长线于点G.∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠AEO＝∠G.∵点O为AC的中点，∴AO＝CO.在△AOE和△COG中，∠AEO＝∠G，∠AOE＝∠COG，AO＝CO，∴△AOE≌△COG，∴OE＝OG，AE＝CG.在Rt△EFG中，∵OE＝OG，∴OE＝OF＝OG.∵∠OFE＝30°，∴∠OFG＝90°－30°＝60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF＝FG.∵OE＝OF，∴OE＝FG.∵CF＝FG－CG，∴CF＝OE－AE.