微积分基本定理第1课时

§1.6.1微积分基本定理【学情分析】：学生已经在高一学习了物理中的匀速直线运动的速度与位移的关系，并且在前一节课通过学习了“已知物体的速度与时间的关系，求其在一定时间内经过的路程”，得到定积分的概念以及求法．学生必然会提出：如果每次求定积分都按“四部曲”求解是一件很麻烦的事情．利用学生的疑问，激发他们的探究精神学习微积分基本定理．以学生现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的，而突破难点在于让学生主动去探索，体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分，这样才能从真正意义上把握该定理的含义，提高学生的能力，体现学生的主体地位．【教学目标】：（1）知识与技能：了解微积分基本定理的含义（2）过程与方法：运用基本定理计算简单的定积分（3）情感态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．【教学重点】：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分【教学难点】：了解微积分基本定理的含义．【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、提出问题(1)你能用定义计算211dxx吗?师:我们首先回忆昨天怎样计算130dxx?提示:快速阅读课本P52例题1.生:利用定义进行计算,分四步:①分割;②近似代替,③作和;④取极限.师:利用定义计算130dxx时,需要使用32211(1)4niinn这一结果,技巧性较强.师:能否按照定义计算211dxx?生(或师):需要求111121nnn的和,而这个“和”是“求不出”的，因此用定义就算不出211dxx的结果．师：从这个事实我们有这样一个感觉，尽管我们的被积函数简单（如31(),()fxxfxx），但是利用定义求它们的定积分依然会很困难，甚至“求”不出．师：我们知道加法的逆运算是减法．乘法的逆运算是除法，而两向量的加法运算和减法运算是互为逆运算．类似地提出引导学生思考用定义计算定积分的困难及其原因．问题：求定积分运算有没有逆运算，如果有，它的逆运算我们如何去定义？师：数学也是一门应用的科学，如果微积分难以在实际中应用，那么欧洲的十七世纪的科学也不会得到那么快的发展．我们的前辈牛顿和莱布尼茨分别独立有效的创立了微积分的基本定理和运算法则，从而使微积分能普遍应用于科学实践．师：前辈们是如何发现微积分基本定理呢？现在我们不妨循着前辈足迹走一走．前辈经过思考，发现导数和定积分有某种联系．师：我们可以看看下面的一些事实：我们知道，如果是匀速直线运动速度函数0()vtv，那么在直线0()vtv下方的面积S就是位移0Svt；如果匀变速直线运动速度函数为()vtat，同样在直线()vtat下方的面积S就是位移2012Sat。t0Sv(t)OtvSv(t)t0Otv我们又知道，位移函数()'()stvt，曲线下的面积可以用定积分00()dtvtt进行计算。你能从上面的找到规律吗？生：00000()()d()dttstvttstt（2）师：那么，导数和定积分到底有何内在联系?能否从这种联系中找出求定积分的简便、有效的方法?生：阅读P57的探究师：你能说说解决书本第57页的“探究”的基本思路吗?生：思考，讨论，探究，并尝试提出解决问题的思路．类比启发引导学生大胆尝试激发寻求计算定积分新方法的认知需要．渗透数学史，让学生认识到历史上数学光辉的一页．二、探索新知师：为了解决一个一般性的问题．我们可以先把问题分解一下．（3）师：如果做直线运动的物体的运动规律是()sst，那么它在时刻t的速度是什么?生：()'()vtst（4）师：如何用()st表示物体在,ab内的位移S?教师引导学观察函数()sst的图象（图1.6-1），观察图象（或根据位移的定义）得出S＝s(b)－s(a)．（图1.6-1）（5）师：如何用()vt表示物体在,ab内的位移S？（图1.6-2）教师引导学生利用导数的几何意义，从图形上直观的观察近似值的意义，并从图形上直观地观察近似值的意义，并用定积分得出()dbaSvtt．（6）由上面的讨论你能得到什么结论?教师引导学生小结：物体在,ab上的位移就是()'()vtst在区间上的定积分，等于函数()st在区间端点b，a处的函数值之差()()sbsa，从而()d'()d()()bbaavttsttsbsa．(7)给出微积分基本定理的一般形式．一般地，如果()fx是区间,ab上的连续函数，并且'()()Fxfx，那么()d()()bafxxFbFa．这个结论叫做微积分基本定理（fundamentaltheoremofcalculus），又叫做牛顿－莱布尼茨公式（Newton－LeibnizFormula）．为了方便，我们常常把()()FbFa记成()baFx，即复习路程与速度之间的关系．得到基本定理中右端的雏形()()sbsa得到基本定理中左端的雏形()dbavtt得出微积分基本定理的一个特例，为得出微积分基本定理奠定基础()d()()()bbaafxxFxFbFa．（8）从微积分基本定理看，运用定理求定积分的关键是什么?如何求F(x)?生（或师）：关键是求出满足'()()Fxfx的函数F(x)．教师引导学生得出求函数F(x)的方法：运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．明确运用定理的关键．三：实践新知（9）计算130dxx．以学生练习、讨论为主，让学生与上一节例题比较，得出结论：结果相同，但比用定义计算定积分简单．教师给出规范的书写格式．（10）P59例题1计算（1）211dxx；（2）32112dxxx生：解题，讨论．师：板书（投影），注意解题的书写格式．附板书：解：（1）∵1ln'xx，∴22111dlnln2ln1ln2xxx（2）∵2211'2,'xxxx，∴33333222111111112d2dd122(91)133xxxxxxxxx①，初步展示利用微积分基本定理求定积分的优越性．②第（1）题与本节引言中的讨论过的问题相呼应；第（2）题的解题过程中利用了定积分的性质2，以说明利用定积分的性质可以间或求解过程．②规范书写格式．四、巩固新知1．练习：计算（1）20sindxx（2）dbnaxx（n为正整数）解：(1)∵(cos)'sinxx，∴2020sindcoscoscos012xxx．（1）注意三角函数的导数（2）第（2）小题中的结果可以作为结果记忆．（2）∵'11nnxxn∴111d11nnnbnbaaxbaxxnn2．P61练习（1）（3）（5）（7）五、总结归纳（1）微积分基本定理（牛顿－莱布尼茨公式）：一般地，如果()fx是区间,ab上的连续函数，并且'()()Fxfx，那么()d()()()bbaafxxFxFbFa．（2）运用微积分基本定理求定积分的关键是求出满足'()()Fxfx的函数F(x)；运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)教师引导学生概括微积分基本定理的思想方法．布置作业课后作业：１．书本：练习（２）（４）（6）（8）．2．P62习题A组13．P62习题A组1（思考）为下一节课准备设计反思特色班应该注意以教师启发，学生的探究为主，充分让学生体会得到微积分基本定理的过程。同步练习基础题：1.下列值等于1的积分是（）(A)10dxx(B)10(1)dxx(C)101dx(D)101d2x答案：C解释：11001d1xx2.计算：(1)231dxx；（2）20(25)dxx；（3）1831dxx解释：（1）22344111115d(21)444xxx（2）22200(25)d(5)14xxxx（3）81483311345d44xxx3.已知自由落体速度为vgt，则落体从0t到0tt所走过的路程为（）(A)2013gt(B)20gt(C)2012gt(D)2014gt答案：C解释：00t2200011d22tgtxgtgt4.若10(2)d2xkx，则k答案：1解释：11200(2)d()1xkxxkxk，∴12k，∴1k（难题）5.已知函数2()321fxxx，若11()d2()fxxfa成立，则a答案：－1或13解释：113211()d()4fxxxxx，∴22(321)4aa，即23210aa，解得1a或13a6、计算下列定积分（1）220(3sin)xxdx（2）226cosxdx解：（1）∵32cos'3sinxxxx，∴33232200(3sin)cos001188xxdxxx（2）∵21cos2cos2xx，且111cos2(sin2)'222xxx，∴22226661cos2113cos(sin2)22268xxdxdxxx