定积分的概念第3课时

§1.5.3定积分的概念【学情分析】：前面两节（曲边梯形的面积和汽车行驶的路程）课程的学习为定积分的概念的引入做好了铺垫。学生对定积分的思想方法已有了一定的了解。【教学目标】：（1）知识与技能：定积分的概念、几何意义及性质（2）过程与方法：在定积分概念形成的过程中，培养学生的抽象概括能力和探索提升能力。（3）情感态度与价值观：让学生了解定积分概念形成的背景，培养学生探究数学的兴趣.【教学重点】：理解定积分的概念及其几何意义，定积分的性质【教学难点】：对定积分概念形成过程的理解【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入：曲边梯形的面积：0111limlimnniixniiSfxfn变速运动的路程：0111limlimnniitniiSvtvn归纳解决曲边梯形面积和变速直线运动的共同特征：第一，都通过“四步曲”——分割、近似代替、求和、取极限来解决问题；第二，最终结果都归结为求同一种类型的和式的极限。结合已学的相关知识基础学习新概念。二、新课讲解1.定积分概念如果函数()fx在区间,ab上连续，用分点011iinaxxxxxb将区间,ab等分成n个小区间，在每个小区间1,iixx上任取一点(1,2,,)iin，作和式11nniiiibafxfn当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数fx在区间,ab上的定积分，记作()bafxdx，即1()limnbianibafxdxfn2.定积分概念的理解（1）关于区间,ab分法。对区间,ab的分割应该是任意的，只要保证每一小区间的长度都趋向于0就可以了。（2）关于i的取法。在定积分的定义中，规定i是第i小区间上任意取定的点，这主要是考虑到定义的一般性，但在解决实际问题或计算定积分时，可以把i都取为每个小区间的左端点或右端点，以便于得出结果。（3）定积分()bafxdx中符号的含义：叫做积分号，,ab分别叫做积分下限和积分上限，区间,ab叫做积分区间，函数()fx叫做被积函数，x叫做积分变量，fxdx叫做被积式。定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有()()()bbbaaafxdxftdtfudu。（4）定积分的含义（与不定积分的区别）：()bafxdx是一个和式的极限——是一个确定的常数；()fxdx是()fx的全体原函数——是函数。详细剖析新概念，让学生透彻理解。3．定积分的几何意义。（1）学生在回顾前面两个实例的基础上做出回答：1.5.1中曲边梯形面积：112001()3Sfxdxxdx1.5.2中汽车在01t这段时间经过的路程：112005()23Svtdttdt（2）探究（课本52页）：如何用定积分表示位于x轴上方的两条曲线12,yfxyfx与直线,xaxb围成的平面图形的面积。结合图形，回忆前两节的两个实例讲解，学生容易接受。例1利用定积分的定义，计算130xdx的值。（使学生进一步熟悉定积分的定义，熟悉计算定积分的“四部曲”，注意引导学生选取(1,2,,)iin为特殊点以便于计算。）4.定积分的基本性质：(1)()()()bbaakfxdxkfxdxk为常数1212(2)[()()]()()bbbaaafxfxdxfxdxfxdx(3)()()()(acb)bcbaacfxdxfxdxfxdx由于没有学习极限相关知识，教学中，不要求学生证明这些基本性质，可帮助学生从几何直观上感知。例2：计算定积分120(2)xxdx分析：利用定积分的性质（1）、（2），可将定积分120(2)xxdx转化为112002xdxxdx，利用定积分的定义分别求出10xdx，120xdx，就能得到定积分120(2)xxdx的值。此例可以说明定积分性质的应用。三、练习①计算230xdx的值，并从几何上解释这个值表示什么。②利用定积分的定义，证明1badxba，其中,ab均为常数且ab。③试用定积分的几何意义说明1201xdx的大小。进一步熟悉定积分的概念。进一步熟悉定积分的几何意义。四、课堂小结定积分的定义，计算定积分的“四步曲”，定积分的几何意义，定积分的性质。归纳，小结本节的知识。练习与测试：（基础题）1.函数()fx在,ab上的定积分是积分和的极限，即()bafxdx_________________.答案：01lim()niiifx2.定积分的值只与______及_______有关，而与_________的记法无关.答案：被积函数,积分区间,积分变量；3.定积分的几何意义是_______________________.答案：介于曲线()yfx,x轴,直线,xaxb之间各部分面积的代数和；4.据定积分的几何意义()ab，则________;badx________.baxdx答案：ba，222ba（提高题）5.将和式极限表示成定积分(1).21lim(12)nnn解：122011111lim(12)limlimnnnnniiinixdxnnnn(2).201lim()niiifx，其中0121,[,],niiiixaxxxbxxMaxx解：2201lim()()()nbbiiaaifxgxdxfxdx6.利用定义计算定积分211.dxx解：在[1,2]中插入分点21,,,nqqq,典型小区间为1[,]iiqq，（1,2,,in）小区间的长度11(1)iiiixqqqq,取1iiq，（1,2,,in）1111111()(1)nnniiiiiiiiifxxqqq1(1)(1)niqnq取2nq即12nq，11()(21),nniiifxn()igixi1121lim(21)limln2,1xxxxxx1lim(21)ln2,nnn1210111limlim(21)ln2.nniniidxxnx