合情推理与演绎推理三

§2.1合情推理与演绎推理（三）【学情分析】：合情推理（归纳推理和类比推理）的可靠性有待检验，在这种情形下，提出演绎推理就显得水到渠成了．通过演绎推理的学习，让学生对推理有了全新的认识，培养其言之有理、论证有据的习惯，加深对数学思维方法的认识．【教学目标】：（1）知识与技能：了解演绎推理的含义、基本方法；正确地运用演绎推理、进行简单的推理．（2）过程与方法：体会运用“三段论”证明问题的方法、规范格式．（3）情感态度与价值观：培养学生言之有理、论证有据的习惯；加深对数学思维方法的认识；提高学生的数学思维能力．【教学重点】：正确地运用演绎推理进行简单的推理．【教学难点】：正确运用“三段论”证明问题．【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习：合情推理归纳推理：从特殊到一般类比推理：从特殊到特殊从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳．类比――提出猜想．复习旧知识二、问题情境观察与思考：（学生活动）1．所有的金属都能导电，铜是金属，所以，铜能够导电．2．一切奇数都不能被2整除，（2100+1）是奇数，所以，（2100+1）不能被2整除．3．三角函数都是周期函数，tan是三角函数，所以，tan是周期函数．提出问题：像这样的推理是合情推理吗？如果不是，它与合情推理有何不同（从推理形式上分析）？创设问题情景，引入新知三、学生活动1．所有的金属都能导电←————大前提铜是金属，←-----小前提所以，铜能够导电←――结论2．一切奇数都不能被2整除←————大前提（2100+1）是奇数，←――小前提所以，（2100+1）不能被2整除。←―――结论3．三角函数都是周期函数，←——大前提tan是三角函数，←――小前提所以，tan是周期函数。←――结论学生探索，发现问题，总结特征四、建构数学——概念形成演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（或逻辑推理）．构建新知，概念形成注：1．演绎推理是由一般到特殊的推理．（与合情推理的区别）2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论的基本格式：大前提：M是P小前提：S是M结论：S是P3．用集合的观点来理解“三段论”推理：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P．巩固新知，加强认识五、数学运用例1、把P78中的问题（2）、（5）恢复成完全三段论的形式．解：（2）因为太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，（大前提）而冥王星是太阳系的大行星，（小前提）因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行．（结论）（5）∵两直线平行，同旁内角互补，（大前提）而∠A、∠B是两条直线的同旁内角，（小前提）∴∠A+∠B＝180°．（结论）例2、如图；在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足，求证：AB的中点M到D、E的距离相等．解：（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提在△ABC中，AD⊥BC，即∠ADB=90°，————小前提所以△ABD是直角三角形————结论．（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，————大前提而DM是直角三角形ABD斜边AB上的中线，——小前提所以DM=21AB．————结论同理EM=AB．所以DM=EM.注：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的.思考：分析下面的推理：因为指数函数xay是增函数，————大前提而xy21是指数函数，————小前提所以xy21是增函数.————结论（1）上面的推理形式正确吗？（2）推理的结论正确吗？提示：推理形式正确，但大前提是错误的（因为指数函数xay（0＜a＜1＝是减函数＝，所以所得的结论是错误的.1．运用新知；2．板书解题详细步骤，规范学生的解题格式．通过错例分析，加深理解MEDCBA例3、证明函数2()2fxxx在,1上是增函数.板演：证明方法（定义法、导数法）→指出：大前题、小前题、结论.六、小结与反思1．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：（1）大前提——已知的一般原理；（2）小前提——所研究的特殊情况；（3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论的基本格式为：大前提：M是P小前提：S是M结论：S是P2．合情推理与演绎推理的区别和联系：（1）推理形式不同（归纳是由特殊到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理）；（2）合情推理为演绎推理提供方向和思路；演绎推理验证合情推理的正确性．对比分析，提高认识【练习与测试】：1．下面的推理过程中，划线部分是（）．因为指数函数xay是减函数，而xy2是指数函数，所以xy2是减函数.A．大前提B．小前提C．结论D．以上都不是2．小偷对警察作如下解释：是我的录象机，我就能打开它．看，我把它打开了，所以它是我的录象机．请问这一推理错在哪里？（）A．大前提B．小前提C．结论D．以上都不是3．因为相似三角形面积相等，而△ABC与△A1B1C1面积相等，所以△ABC与△A1B1C1相似.上述推理显然不对，这是因为（）．A．大前提错误B．小前提错误C．结论错误D．推理形式错误4．请判断下面的证明，发生错误的是（）．∵一个平面内的一条直线和另一个平面内的两条直线平行，则着两个平面平行，又∵直线l平面，直线m平面，直线n平面，且l∥m，∴∥.A．大前提错误B．小前提错误C．结论错误D．以上都错误5．函数Rxxfy为奇函数，22,211fxfxff，则5f（）．A．0B．1C．25D．56．下面给出一段证明：∵直线l平面，又∵∥，∴l∥.这段证明的大前提是．7．如图，下面给出一段“三段论”式的证明，写出这段证明的大前提和结论．∵．（大前提）又∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA∩AB=A．（小前提）∴．（结论）CBAP8．用“三段论”证明：通项公式为dncan的数列na是等差数列.9．用“三段论”证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，则AB=DC．10．将课本第89页例6的证明改成用“三段论”书写．11．证明函数f(x)=－x2+2x在［1，+∞］上是减函数．12．设a＞0,b＞0,a+b=1,求证：8111abba．参考答案1～5：BADAC6．两个平行平面中一个平面的任意一条直线平行于另一个平面7．如果一条直线和某一平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就和该平面垂直；BC⊥平面PAB8．证：如果数列na满足：daann1（常数），那么数列na是等差数列（大前提）∵数列na中有ddncndcaann)()1(1（常数），（小前提）∴通项公式为dncan的数列是等差数列．（结论）9．证：过点D作DE∥AB，交BC于点E．∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（大前提）又∵四边形ABED中DE∥AB，AD∥BE，（小前提）∴四边形ABED是平行四边形．（结论）∵平行四边形的对边相等．（大前提）又∵四边形ABED是平行四边形，（小前提）∴AB＝DE．（结论）∵两直线平行，同位角相等．（大前提）又∵AB∥DE，（小前提）∴∠DEC＝∠B．（结论）∵两个角若分别和第三个角相等，那么这两个角相等．（大前提）又∵∠B＝∠C，∠DEC＝∠B（小前提）∴∠DEC＝∠C．（结论）∵三角形中等角对等边．（大前提）又∵△DEC中有∠DEC＝∠C，（小前提）∴DE＝DC．（结论）∵两条线段若分别和第三条相等，那么这两线段相等．（大前提）又∵AB＝DE，DE＝DC（小前提）∴AB=DC．（结论）10．证：函数)(xfy若满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1、x2，若x1＜x2，则有)(1xf＜)(2xf，则)(xfy在该给定区间内是增函数．（大前提）任取x1、x2∈（－∞，1］，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝（－x12+2x1）－（－x22+2x2）＝（x2－x1）（x1+x2－2）又∵x1＜x2≤1，∴x2－x1＞0，x1+x2＜2，即x1+x2－2＜0，∴f(x1)－f(x2)＝（x1－x2）（2－（x1+x2））＜0，即f(x1)＜f(x2)．（小前提）∴函数f(x)=－x2+2x在［1，+∞］上是减函数．（结论）11．证：任取x1、x2∈［1，+∞］，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝（－x12+2x1）－（－x22+2x2）＝（x1－x2）（2－（x1+x2））又∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1+x2＞2，即2－（x1+x2）＜0，∴f(x1)－f(x2)＝（x1－x2）（2－（x1+x2））＞0，即f(x1)＞f(x2)．∴函数f(x)=－x2+2x在［1，+∞］上是减函数．12．证：∵a+b=1，且a＞0,b＞0,bbaababaabbabaabba2112111118442242422baabbaabbaab