几个常见函数的导数

§1.2.1几个常见函数的导数【学情分析】：本节重要是介绍求导数的方法.根据导数定义求导数是最基本的方法.但是,由于最终总会归结为求极限,而本章并没有介绍极限知识,因此,教科书只是采用这种方法计算21,,,,ycyxyxyyxx这五个常见函数的导数.学生只要会用导数公式和求简单函数的导数即可.【教学目标】：（1）用导数定义,求函数21,,,,ycyxyxyyxx的导数.（2）能用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数.（3）理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题，培养学生的应用意识.【教学重点】：能用导数定义,求函数21,,,,ycyxyxyyxx的导数.【教学难点】：能用基本初等函数的导数公式和导数加减运算法则求简单函数的导数.【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入1、导数概念及其几何意义；2、求函数的导数的方法是:（1）求函数的改变量)()(xfxxfy奎屯王新敞新疆（2）求平均变化率xxfxxfxy)()(奎屯王新敞新疆（3）取极限，得导数'y()fxxyx0lim奎屯王新敞新疆为课题引入作铺垫.二、讲授新课1．函数()yfxc的导数根据导数定义，因为()()0yfxxfxccxxx所以00limlim00xxyyx函数导数yc0y0y表示函数yc图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若yc表示路程关于时间的函数，则0y可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()yfxx的导数教师板演形成规范深刻认识函数的内涵，养成用数学知识解释现实问题的习惯.因为()()1yfxxfxxxxxxx所以00limlim11xxyyx函数导数yx1y1y表示函数yx图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若yx表示路程关于时间的函数，则1y可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．（以教师计算演示为主,说明根据定义求导数这种方法的具体操作过程.）让学生模仿,根据具体步骤亲自尝试求导过程.3．函数2()yfxx的导数因为22()()()yfxxfxxxxxxx2222()2xxxxxxxx所以00limlim(2)2xxyyxxxx函数导数2yx2yx2yx表示函数2yx图像（图3.2-3）上点(,)xy处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x时，随着x的增加，函数2yx减少得越来越慢；当0x时，随着x的增加，函数2yx增加得越来越快．若2yx表示路程关于时间的函数，则2yx可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x．4．函数1()yfxx的导数因为11()()yfxxfxxxxxxx让学生上黑板演示，教师作出评价，并且引导学生归纳出幂函数的导数公式.2()1()xxxxxxxxxx所以220011limlim()xxyyxxxxx函数导数1yx21yx5．函数()yfxx的导数因为()()yfxxfxxxxxxx()1xxxxxxxxxx所以0011limlim()2xxyyxxxxx推广：若*()()nyfxxnQ，则1()nfxnx。说明：请注意公式中的条件是nQ,但根据我们所掌握的知识,只能就*nN的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.三、师生互动，继续探究探究1：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4yxyxyx的图象，并根据导数的定义，求它们的导数.(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？(3)函数(0)ykxk增（减）的快慢与什么有关？教师指导学生分组进行探究性学习，分别展示探究结论，教师给予分析、评价并总结.探究2：画出函数1yx的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.问题逐层深入，为后继学习做个铺垫。培养学生数形结合的能力，并掌握求切线方程的方法1535423(1)(2)(0)(3)(0)(4)(0)yxyxxyxxyxx四、运用新知，体验成功练习1．求下列函数的导数.1535423(1)(2)(0)(3)(0)(4)(0)yxyxxyxxyxx练习2．求三次曲线3yx在点(2,8)处的切线方程.通过多角度的练习，并对典型错误进行讨论与矫正，使学生巩固所学内容，同时完成对新知的迁移。五、课堂小结(1)求函数)(xfy的导数的一般方法：①求函数的改变量)()(xfxxfy.②求平均变化率xxfxxfxy)()(.③取极限，得导数/y＝()fxxyx0lim.(2)常见函数的导数公式：0'C；1)'(nnnxx.(12)作业布置:教科书P13探究二(函数变式:1yxx),P18A组1,2,5注:如果环节(8)③中未完成则课后做作业.练习与测试：A．基础题.1．求下列函数的导数：（1）12yx（2）yxx（3）41yx（4）53yx答案：（1）'1112yx（2）'32yx（3）'54yx（4）2'535yx2．已知函数2()fxx，则'(3)f（）（A）0（B）2x（C）6（D）9答案：C3．已知函数1()fxx，则'(2)f（）（A）4（B）14（C）4（D）14答案：D4．已知函数3()fxx的切线的斜率等于3，则其切线方程有（）（A）1条（B）2条（C）多余2条（D）不存在答案：BB．难题1．已知(1,1),(2,4)PQ是曲线2yx上两点，求与直线PQ平行的曲线2yx的切线方程．'(1,1),(2,4)12111,2411424410PQPQkyxxyyxxy解：令得所以曲线的切线方程为：即2．设曲线3yx过点3(,)aa的切线与直线,0xay所围成的三角形面积为13，求a.3'23322333()|3(,)3()32020,;,312()1231xakxaaayaaxaaxayyxaxayaSaaaa解：过点的切线方程为即令得得