基本初等函数和导数运算法则

§1.2.2基本初等函数和导数运算法则【学情分析】：上一节课已经学习了用导数定义这种方法计算21,,,,ycyxyxyyxx这五个常见函数的导数,而且已经初步接触了导数加减运算法则.本节将继续介绍导数乘除运算法则.【教学目标】：（1）能用基本初等函数的导数公式和导数加减运算法则求简单函数的导数.(2)会用导数乘除运算法则求简单函数的导数.（3）加强学生对运算法则的理解与掌握，学会归纳与概括.【教学重点】：两个乃至多个函数四则运算的求导法则,复合函数的求导法则等，都是由导数的定义导出的，要掌握这些法则，须在理解的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数.【教学难点】：合理应用四则运算的求导法则简化函数的求导过程.【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入五种常见函数yc、yx、2yx、1yx、yx的导数公式及应用函数导数yc'0yyx'1y2yx'2yx1yx'21yxyx'12yx*()()nyfxxnQ'1nynx为课题引入作铺垫.二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表函数导数yc'0y*()()nyfxxnQ'1nynxsinyx'cosyx淡化证明，直接给出公式.（二）导数的运算法则导数运算法则1．'''()()()()fxgxfxgx2．'''()()()()()()fxgxfxgxfxgx3．'''2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx（2）推论：''()()cfxcfx（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）cosyx'sinyx()xyfxa'ln(0)xyaaa()xyfxe'xye()logafxx'1()log()(01)lnafxxfxaaxa且()lnfxx'1()fxx三．典例分析例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系0()(15%)tptp，其中0p为0t时的物价．假定某种商品的01p，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有'()1.05ln1.05tpt所以'10(10)1.05ln1.050.08p（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323yxx（2）y＝xx1111；（3）y＝x·sinx·lnx；及时运用新知识，巩固练习，让学生体验成功，为了使学生实现从掌握知识到运用知识的转化（4）y＝xx4；（5）y＝xxln1ln1．（6）y＝（2x2－5x＋1）ex（7）y＝xxxxxxsincoscossin【点评】①求导数是在定义域内实行的．②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100cxxx求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%（2）98%解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)xxcxxx20(100)5284(1)(100)xx25284(100)x（1）因为'25284(90)52.84(10090)c，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()fx在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)cc．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．四、概括梳理，形成系统（小结）1．基本初等函数的导数公式表2．能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率有关的较为综合性问题.练习与测试:1.求下列函数的导数：(1)axyax(2)223xyx(3)y=tanx(4)11cosyx2.求函数的导数.(1)y=2x3+3x2－5x+4(2)y=sinx－x+1(3)y=(3x2+1)(2－x)(4)y=(1+x2)cosx3.填空：(1)［(3x2+1)(4x2－3)］′=()(4x2－3)+(3x2+1)()(2)(x3sinx)′=()x2sinx+x3()4.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.［(3+x2)(2－x3)］′=2x(2－x3)+3x2·(3+x2)5.y=3x2+xcosx，求导数y′.6.y=5x10sinx－2xcosx－9，求y′.参考答案：1.(1)y′()axax′2)())(()()(xaxaxaxaxa22)(2)()()(xaaxaxaxa;(2)y′22()3xx′2222)3()3)(2()3()2(xxxxx2433(2)(6)493xxxxxx;(3)y′=(tanx)′=(xxcossin)′2)(cos)(cossincos)(sinxxxxx2222cossin1coscosxxxx;(4)y′1()1cosx′2)cos1()cos1(1)cos1(1xxx＝22)cos1(sin)cos1(sin)cos1(0xxxxx.2.(1)(2x3+3x2-5x+4)′=(2x3)′+(3x2)′-(5x)′+4′=2·3x2+3·2x-5=6x2+6x-5(2)y′=(sinx－x+1)′=(sinx)′－x′+1′=cosx－1(3)y′=［(3x2+1)(2－x)］′=(3x2+1)′(2－x)+(3x2+1)(2－x)′=3·2x(2－x)+(3x2+1)(－1)=－9x2+12x－1(4)y′=［(1+x2)cosx］′=(1+x2)′cosx+(1+x2)(cosx)′=2xcosx+(1+x2)(－sinx)=2xcosx－(1+x2)sinx3.(1)［(3x2+1)(4x2－3)］′=(3x2+1)′(4x2－3)+(3x2+1)(4x2－3)′=3·2x(4x2－3)+(3x2+1)(4·2x)=(6x)(4x2－3)+(3x2+1)(8x)(2)(x3sinx)′=(x3)′sinx+x3(sinx)′=(3)x2sinx+x2(cosx)4.不正确.［(3+x)2(2－x3)］′=(3+x2)′(2－x3)＋(3＋x2)(2－x3)′=2x(2－x3)+(3+x2)(－3x2)=2x(2－x3)－3x2(3+x2)5.y′=(3x2+xcosx)′=(3x2)′+(xcosx)′=3·2x+x′cosx+x(cosx)′=6x+cosx+xsinx6.y′=(5x10sinx－2xcosx－9)′=(5x10sinx)′－(2xcosx)′－9′=5·10x9sinx+5x10cosx－(121212x·cosx－2xsinx)=50x9sinx+5x10cosx－x1cosx+2xsinx=(50x9+2x)sinx+(5x10－x1)cosx奎屯王新敞新疆