立体几何中的向量方法第2课时

§3.2.2空间角与距离的计算举例【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,上次课已经学习了直线的方向向量和平面的法向量，所以本节课是通过举例来求空间的距离和角。我们可以将空间中的有关距离和角的问题，转化为空间向量的数量积来解决。【教学目标】：（1）知识与技能：能用向量方法进行有关距离的计算；能用向量方法解决线线、线面与面面的夹角的计算问题.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。【教学重点】：将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算.【教学难点】：将空间角与距离的计算转化为向量的夹角与模来计算..【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入1．两个向量的数量积如何运算？2．向量的模与向量的数量积是什么关系？3．向量的加法法则。为探索新知识做准备.二、探究与练习一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，与老师共同得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）二、例题例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？解：如图1，设化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算让学生通过回顾寻找将立体几何问题转化为向量问题的步骤。例1的图形比较规范，容易把握，可以让学生很好地体会向量解题的优势。6011DAABAA)60cos60cos60(cos2111)(2112122AAADAAABADABAAADAB6BADADAAAB，1111AAADABAC2121)(AAADABAC.cos22222dcbaab6||1AC回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的6倍。思考：（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？分析:（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于,那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?分析:∴这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）分析：面面距离点面距离向量的模回归图形解：提醒学生不能缺少这一步。转化为向量。这是例题1的推广，方法类似，学生进一步体会.让学生体会空间距离的转化。A1B1C1D1ABCD图16012011BCBABBABC，其中1111DAABAABADxAAADABaAC，，设11AAADABAC则由)(211212221AAADAAABADABAAADABAC)cos3(23222xxa即axcos6311AC11BBBCBABD.11HACHAA于点平面点作过.1的距离为所求相对两个面之间则HA111AAADABBADADAABA且由.上在ACH练习:如图2，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连结DE，计算DE的长例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和b,CD的长为c,AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值解：如图化为向量问题根据向量的加法法则进行向量运算及时进行类比训练，巩固所学方法和技能。例2是关于角的有关问题，引导学生找到相应的向量进行转化。以下设计与例1类似。3360cos211)(22ACBCABAC.160cos60cos)(1111BCAAABAABCABAAACAA31||||cos111ACAAACAAACA36sin1ACA36sin111ACAAAHA∴所求的距离是。36OABCDE图2ABCD图3.dABcCDbBDaAC，，，DBCDACAB222)(DBCDACABd)(2222DBCDDBACCDACBDCDABDBACbca2222设向量CA与DB的夹角为，就是库底与水坝所成的二面角。因此回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为思考：（1）本题中如果夹角可以测出，而AB未知，其他条件不变，可以计算出AB的长吗？分析：∴可算出AB的长。（2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？分析：如图，设以顶点A为端点的对角线长为d，三条棱长分别为a,b,c,各棱间夹角为.DBCAbca222222222dcbaDBCAcos2222abbca)(2222DBCDDBACCDACBDCDABA1B1C1D1ABCD.2cos2222abdcba.22222abdcba22)(DBCDACAB由21212)(CCACABCAd则cos)(2222acbcabbca)(2cos2222acbcabcbad（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等a，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？分析：二面角平面角向量的夹角回归图形解：如图，在平面AB1内过A1作A1E⊥AB于点E，在平面AC内作CF⊥AB于F。∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。练习：（1）如图4，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长。2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB＝A1B1D1ADEFBcossin1aBFAEaCFEA，则CFEAFCEAcoscoscos11，，||||11CFEACFEA221sin)()(aBFCBAEAA2222222sincos)cos(cos)cos(coscosaaaaacos1cosB图4ACDC1C45°，∠A1AC＝60°，求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。三、拓展与提高如图6，在棱长为a的正方体中，E,F分别是棱AB,BC上的动点，且AE=BF。（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取最大值时，求二面角的正切值。学生进行提高训练应用.四、小结1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。2．面面距离点面距离向量的模回归图形二面角平面角向量的夹角回归图形反思归纳五、作业课本P121第2、4题。练习与测试：（基础题）1．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°答：C。ABCA1B1C1图5O’C’B’A’OABCEF图6''''CBAOOABCECFA''BEFB'BEFB'·B1PACDA1C1D1BOH·2．如图，在棱长为2的正方体1111DCBAABCD中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是1CC、AD的中点。那么异面直线OE和1FD所成的角的余弦值等于（）A．510B．515C．54D．32答：B。3，把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为）A．90°B．60°C，45°D．30°答：C。4，已知AB是两条异面直线,ACBD的公垂线段，1,10,301ABACBDCD，则,ACBD所成的角为．答：060或0120。（中等题）5，一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，这条线段与这个二面角的棱所成的角为。答：0456，棱长为4的正方体1111ABCDABCD中，O是正方形1111ABCD的中心，点P在棱1CC上，且14CCCP．（Ⅰ）求直线AP与平面11BCCB所成的角的三角函数值；（Ⅱ）设O点在平面1DAP上的射影是H，求证：1DHAP．解：（1）连BP，则角APB为直线AP与平面11BCCB所成的角，17174174tanBPABAPB（2）021)(111APDBAPOHAPODAPOHODAPHD所以1DHAPD1C1A1B1ABCDOFE