立体几何中的向量方法第4课时

§3.2.4坐标法中解方程组求向量的有关问题【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经学习了直线的方向向量和平面的法向量，并且对坐标法也有一定的认识，本节课是进一步通过坐标法来解决立体几何的一些问题。我们可以将这些问题，转化为空间向量的代数运算和方程组来解决。【教学目标】：（1）知识与技能：能根据图形的特点建立合适的空间坐标系并用坐标表示点和向量；对某个向量能用解方程组的方法求其坐标.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。【教学重点】：解方程组求向量的的坐标.【教学难点】：解方程组求向量的的坐标..【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入1．单位向量，平面的法向量（1）单位向量－－模为1的向量。（2）平面的法向量－－垂直于平面的向量。2．坐标法。为探索新知识做准备.二、探究与练习一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，与老师共同得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）二、例题例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求证：平面A1BC1的法向量为直线DB1的方向向量.D1C1D'B1A1CDAB分析：（1）建立空间坐标系；（2）用坐标表示向量（3）设平面A1BC1的方向向量为n=(x,y,z)，由下列关系列方程组求x,y,z.让学生通过回顾寻找将立体几何问题转化为向量问题的步骤。例1在建立坐标系后，比较简单，容易把握。分析中的方法是为配合本次课的课题而设计的。11,BCBA0,011BCnBAn（4）证明向量n//（解略）思考：有更简单的方法吗？向量与BA1、1BC的数量积为零即可。例2，ABCD是一个直角梯形，角ABC是直角，SA垂直于平面ABCD，SA=AB=BC=1,AD=0.5,求平面SCD与平面SBA所成二面角的余弦。DBCSA分析：求二面角的余弦，可以转换为求它们的方向向量夹角的余弦。所以本题关键是求平面的法向量。解：以A为原点建立空间直角坐标系，使点A、C、D、S的坐标分别为A（0，0，0）、C（－1，1，0）、D（0，0.5、0）、S（0，0，1）。设平面由学生回答本例的简便解法。例2是一个典型的通过解方程组求法向量的问题，这类问题可以不用作出二面角的平面角就求出结果。取y＝2，因为只要向量的方向。例3是数学与物理的综合应用问题，求合力转化为向量的加法。1DB1DB11(0,,0)2SBAnAD易知面的法向量2(,,),SCDnxyz的法向量22,,nCDnSD由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n任取1212126cos,3||||nnnnnn63即所求二面角得余弦值是？时，才能提起这块钢板少动？这三个力最小为多力的作用下将会怎样运这块钢板在这些，且是角形的两边之间的角都每个力与同它相邻的三力，在它的顶点处分别受质量为角形面的钢板的如图，一块均匀的正三例.20060,,,5003321321kgFFFFFFkg分析：建立坐标系，将向量坐标化，然后进行坐标形式下的向量运算。为简化运算，可以选择以三角形的一个顶点为原点、一条边所在直线为一条轴、三角形所在平面为坐标平面的坐标系。帮助学生理解如何建立坐标系。单位向量的模为1。),0,1,0(),,(2160cos60,),,,(11zyxACABFzyxF的数量积运算，得，利用向量的夹角均为与由于为方向上的单位向量坐标设力),0,21,23(),,(2160coszyx.21,121yx解得F1F2F3ACO500kgB32,1222zzyx因此又因为)32,21,121(2001F所以)32,0,31(200)32,21,121(20032FF类似地).0,21,23(),0,1,0(),0,0,0(,CBAAxyzyAByABxAyABCA坐标分别为则正三角形的顶点建立空间直角坐标系轴的单位长度为轴正方向，方向为平面，坐标为为原点，平面解：如图，以点)6,0,0(200)]32,0,31()32,21,121()32,21,121[(200321FFF＋它们的合力探究：不建立坐标系，如何解决这个问题？――求每个力向上的分力。开拓学生思维。三、拓展与提高1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P在A1B1上，Q在BC上，且A1P=QB，M、N分别为AB1、PQ的中点。求证：MN//平面ABCD。证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz设正方形边长为2，又设A1P=BQ=2x则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)，故N(2-x,1+x,1),而M(2,1,1)所以向量MN=(-x,x,0)，又平面AC的法向量为n=(0,0,1)，nMN=0∴nMN又M不在平面AC内，所以MN∥平面AC。MNC'D'B'A'CDAByxzPQ2，课本P122第11题。答案：3/8.学生进行提高训练应用.四、小结1．根据图形特点建立合适的空间直角坐标系，用坐标表示点和向量，通过向量解决问题。2．个别点和向量的坐标先假设，再列方程组来求出。反思归纳五、作业课本P121，第6题和P122第10题。练习与测试：（基础题）所以钢板仍静止不动。由于作用点为大小为的合力方向向上，这说明，作用在钢板上,5006200.,6200Okg1，已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若＝，则x＋y＋z＝．答：02，把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60的二面角，点A到BC的距离是（）A．aB．62aC．33aD．154a答：D3，若a=(2x,1,3),b=(1,－2y,9),如果a与b为共线向量，则A.x=1,y=1B.x=,y=－C.x=,y=－D.x=－,y=解析：因为a=(2x,1,3)与b=(1,－2y,9)共线，故有==,∴x=,y=－,应选C.答案：C4，若空间三点A(1，5，－2)、B(2，4，1)、C(p,3,q+2)共线，则p=__________,q=__________.解析：∵A、B、C三点共线，则=λ,即(1，－1，3)=λ(p－1,－2,q+4)，∴∴λ=，代入得p=3,q=2.答案：32（中等题）5，棱长为a的正方体OABC—O1A1B1C1中，E、F分别为棱AB、BC上的动点，且AE=BF=x（0≤x≤a）.如图，以O为原点，直线OA、OC、OO1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，⑴求证：A1F⊥C1E；⑵当△BEF的面积取得最大值时，求二面角B1—EF—B的正切值.证明：（1）A1（a，0．a），F（a-x，a，0），C1（0，a，a），E（a，x，0）所以),,(),,,(11aaxaECaaxFA，由此得ECFA11=0，A1F⊥C1E（2）当△BEF的面积取得最大值时，E、F应分别为相应边的中点，可求得二面角B1—EF—B的正切值22.CBAOC1B1O1A1EFyxz6，如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；解：以A为坐标原点，建立下图所示的空间直角坐标系.设DF=x，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),E(1,,0),F(x,1,0).∴=(1，－，－1)，=(1，0，1)，=(x,1,0).∴·=1－1=0，即D1E⊥AB1.于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF·=0x－=0，即x=.故当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.