第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形北师大版九年级下册数学课件

导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第三章圆3.4圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角和直径的关系及圆内接四边形1.复习并巩固圆周角和圆心角的相关知识.2.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用.(重点)学习目标问题1什么是圆周角？导入新课复习引入特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.●OBACDE问题2什么是圆周角定理？圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.●OABC●OABC●OABC即∠ABC=∠AOC.导入新课情境引入如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？直径所对应的圆周角一讲授新课思考：如图，AC是圆o的直径，则∠ADC=，∠ABC=.90°90°推论：直径所对的圆周角是直角.反之，90°的圆周角所对的弦是直径.问题回归到最初的问题，你能确定圆形笑脸的圆心吗？利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角，这样就得到两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心.例1：如图，⊙O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B,求AB、BC的长．B解：(1)∵AC是直径，∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中，22221068;DCACAD典例精析在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，(2)∵AC是直径,∴∠ABC=90°.∵BD平∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC.∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC.221052(cm).22ABBCACB解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.归纳如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°.∵∠CBD＝30°，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.练一练C圆内接四边形及其性质二四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.思考：圆内接四边形有什么特殊的性质吗？如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆.(2)当ABCD为一般四边形时，猜想：∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为.∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º性质探究(1)当ABCD为矩形时，∠A与∠C,∠B与∠D之间的关系为.∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º试一试证明：圆内接四边形的对角互补.已知，如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆.求证∠BAD+∠BCD=180°.证明：连接OB、OD.根据圆周角定理，可知121A=12∠∠，1C=2.2∠∠11A+C=12==.22∠∠（∠∠）360180由四边形内角和定理可知，∠ABC+∠ADC=180°圆内接四边形的对角互补.推论要点归纳CODBA∵∠A＋∠DCB＝180°，E∠DCB＋∠DCE＝180°.∴∠A＝∠DCE.想一想如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有何关系？1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C=，∠D=.2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则∠D=.70º100º90º练一练3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是()A．120°B．100°C．80°D．60°解析：∵∠BOD＝120°，∴∠A＝60°，∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A.A例2：如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求证：∠FGD＝∠ADC.证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.典例精析1.如图，AB是⊙O的直径,C、D是圆上的两点,∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿_.50°ABOCD当堂练习2.如图，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（）A.70°B.110°C.90°D.120°BACBODE3.在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.OABDC解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°∴∠A=180°-∠C=50°（圆内接四边形对角互补）变式：已知∠OAB等于40°,求∠C的度数.ABCOD.904050.18050130.AODDBDABDOABADBC解：延长至，交圆于点，连接，，4.如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（）A．3B．C．D．23233A5.如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．(1)试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；解：(1)AB＝AC.证明如下：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC；(2)在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否为AC的中点？为什么？(2)当△ABC为正三角形时，E是AC的中点．理由如下：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠BEA＝90°，即BE⊥AC.∵△ABC为正三角形，∴AE＝EC，即E是AC的中点．课堂小结圆周角定理推论2推论3圆内接四边形的对角互补.直径所所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径见《学练优》本课时练习课后作业更多精彩内容，微信扫描二维码获取扫描二维码获取更多资源