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3.6直线和圆的位置关系第1课时直线和圆的位置关系及切线的性质1．理解直线和圆的相交、相切、相离三种位置关系；(重点)2．掌握直线和圆的三种位置关系的判定方法；(难点)3．掌握切线的性质定理，会用切线的性质解决问题．(重点)一、情境导入在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？二、合作探究探究点一：直线和圆的位置关系【类型一】判定直线和圆的位置关系已知⊙O半径为3，M为直线AB上一点，若MO＝3，则直线AB与⊙O的位置关系为()A．相切B．相交C．相切或相离D．相切或相交解析：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于3，则直线和圆相交、相切都有可能．故选D.方法总结：判断直线和圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离．特别注意：这里的3不一定是圆心到直线的距离．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】根据直线和圆的位置关系，求线段的长或取值范围在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，若以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，那么BC的长等于()A．2cmB．22cmC．23cmD．4cm解析：如图所示，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，∴△ABC是等腰直角三角形．∵以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，∴CD＝2cm.∵∠B＝45°，∴CD＝BD＝2cm，∴BC＝CD2＋BD2＝22＋22＝22(cm)．故选B.方法总结：解决问题的关键是根据题意画出图形，利用直线和圆的三种位置关系解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】在平面直角坐标系中，解决直线和圆的位置关系的问题如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为1，动直线AB与x轴交于点P(x，0)，且满足直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是()A．－1≤x≤1B．－2＜x＜2C．0≤x≤2D．－2≤x≤2解析：当直线AB与⊙O相切且与x轴正半轴相交时，设切点为C，连接OC.∵直线AB与x轴正方向夹角为45°，∴△POC是等腰直角三角形．∵⊙O的半径为1，∴OC＝PC＝1，∴OP＝12＋12＝2，∴点P的坐标为(2，0)．同理可得，当直线AB与x轴负半轴相交时，点P的坐标为(－2，0)，∴x的取值范围为－2≤x≤2.故选D.方法总结：解决本题要熟知直线和圆的三种位置关系，关键是有公共点的情况不要遗漏．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题探究点二：切线的性质【类型一】利用切线的性质求线段长如图，CB是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PB＝2，PA切⊙O于A点，PA＝4.求⊙O的半径．解析：设圆的半径是x，利用勾股定理可得关于x的方程，求出x的值．解：如图，连接OA，∵PA切⊙O于A点，∴OA⊥PA.设OA＝x，∴OP＝x＋2.在Rt△OPA中，x2＋42＝(x＋2)2，∴x＝3，∴⊙O的半径为3.方法总结：运用切线的性质来进行计算或证明时，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型二】圆的切线与相似三角形的综合如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于E，连接CD.(1)求证：点E是边BC的中点；(2)求证：BC2＝BD·BA；(3)当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．解析：(1)利用切线的性质及圆周角定理证明；(2)利用相似三角形证明；(3)利用正方形的性质证明．证明：(1)如图，连接OD.∵DE为切线，∴∠EDC＋∠ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝BE.∴EB＝EC，即点E为边BC的中点；(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝∠BDC＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC＝BCBD，∴BC2＝BD·BA；(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝180°－∠ADC－∠OCD＝180°－90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形．方法总结：本题的综合性比较强，但难度不大，解决问题的关键是综合运用学过的知识解答．另外，连接圆心和切点，构造直角三角形也是解题的关键．【类型三】圆的切线与三角函数的综合如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线与AD的延长线交于F点．(1)求证：∠ABC＝∠F；(2)若sinC＝35，DF＝6，求⊙O的半径．解析：(1)由切线的性质得AB⊥BF，因为CD⊥AB，所以CD∥BF，由平行线的性质得∠ADC＝∠F，由圆周角定理的推论得∠ABC＝∠ADC，于是证得∠ABC＝∠F；(2)连接BD.由直径所对的圆周角是直角得∠ADB＝90°，因为∠ABF＝90°，然后运用解直角三角形解答．(1)证明：∵BF为⊙O的切线，∴AB⊥BF.∵CD⊥AB，∴∠ABF＝∠AHD＝90°，∴CD∥BF.∴∠ADC＝∠F.又∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠F；(2)解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.由(1)可知∠ABF＝90°，∴∠ABD＋∠DBF＝90°，∴∠A＝∠DBF.又∵∠A＝∠C，∴∠C＝∠DBF.在Rt△DBF中，sin∠DBF＝sinC＝35，DF＝6，∴BF＝10，∴BD＝8.在Rt△ABD中，sinA＝sinC＝35，BD＝8，∴AB＝403.∴⊙O的半径为203.方法总结：运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．三、板书设计直线和圆的位置关系及切线的性质1．直线和圆的位置关系：①直线l与圆O相交⇔d＜r；②直线l与圆O相切⇔d＝r；③直线l与圆O相离⇔d＞r.2．切线的性质及运用在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时，先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系，启发学生运用类比的思想来思考问题，解决问题，学生很轻松地就能够得出结论，从而突破本节课的难点，使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化.