高中数学必修五-第二章：数列专题

必修五数学专题-1-《必修五数列专题》第一讲：数列的概念知识要点：一、数列的概念：一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的一般形式可以写成123,,,,,naaaa，简记为数列na，其中第一项1a也成为首项；na是数列的第n项，也叫做数列的通项.数列可看作是定义域为正整数集N（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.二、数列的分类：按数列中项的多数分为：（1）有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；（2）无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.三、通项公式：如果数列na的第n项na与项数n之间的函数关系可以用一个式子表示成nafn，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.四、数列的函数特征：一般地，一个数列na，如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即1nnaa，那么这个数列叫做递增数列;如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即1nnaa，那么这个数列叫做递减数列;如果数列na的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.五、递推公式：某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．典型例题：【例1】已知数列的通项公式是.1nnan（1）961011，是不是该数列的项？如果是，是第几项？（2）从第几项开始该数列的项大于9991000.【例2】写出下面数列的一个通项公式，使得它的前4项分别是下列各数：必修五数学专题-2-（1）2121;325，，，（2）1020104039981，，，；（3）2345381524，，-，；（4）1111.261220，-，，-【例3】已知数列na的通项公式21040,nann数列na中的最小项为________.【例4】已知数列na满足1130,31nnnaaanNa，则20a.A.0B.3C.3D.32【例5】在数列na中，10111nnannN.（1）求证：数列na先递增，后递减；（2）求数列na的最大项.【例6】设函数2loglog401,xfxxx数列na的通项na满足22nafnnN.（1）求数列na的通项公式；（2）数列na中有没有最小项？若有，试求出最小项和相应的项数；若没有，请说明理由.强化训练：1、下列说法正确的是（）.必修五数学专题-3-A、数列{1，3，5，7}和数列{3，1，5，7}是同一个数列.B、同一个数在数列中可能重复出现.C、数列的通项公式是定义域为正整数集N的函数.D、数列的通项公式是唯一的.2、数列na中，111,23,nnaaa则na中的第5项是________.3、数列7,77,777,777，……的一个通项公式为________.4、在数列na中，112,12,nnanana则4a________.5、观察下面数列的特点，用适当的数填空.（1）11121,;4832，，，，，，（2）1449,，，-9,16,-25,，；（3）1925,81,，，，；（4）1111,0,,0,.235，0,,0，，6、观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每一个数列的一个通项公式：（1）111135,;248，，，（2）2517,，，，；（3）11529,24832，，-，,；（4）5172637,.3152435，,，，7、已知数列na的通项公式22153,nann数列na中的最大项为________.8、若函数22,xxfx数列na的通项na满足2log2nfannN.（1）求数列na的通项公式；（2）证明数列na是递减数列.必修五数学专题-4-第二讲：等差数列（一）知识要点：一、等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差.即1nnaad（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.二、等差数列的通项公式：设等差数列na的首项为1a，公差为d，则通项公式为：11,nmaandanmdnmN、.三、等差中项：（1）若aAb、、成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且=2abA;（2）若数列na为等差数列，则12,,nnnaaa成等差数列，即1na是na与2na的等差中项，且21=2nnnaaa；反之若数列na满足21=2nnnaaa，则数列na是等差数列.四、等差数列的性质：（1）等差数列na中，若,mnpqmnpqN、、、则mnpqaaaa，若2mnp，则2mnpaaa；（2）若数列na和nb均为等差数列，则数列nnab也为等差数列；（3）等差数列na的公差为d，则0nda为递增数列，0nda为递减数列，0nda为常数列.典型例题：【例1】已知数列na的通项公式为35,nan这个数列是否为等差数列？【例2】已知等差数列na的公差0d且373712,4,naaaaa求.必修五数学专题-5-【例3】已知等差数列na中，154533,153,aa试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由.【例4】在等差数列na中，（1）若34567350,aaaaa则28_____;aa（2）若23452542534,52,____;aaaaaaaaa且则（3）若3146,2____.aaa则【例5】等差数列na的公差0d，试比较4967aaaa与的大小.【例6】已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数.【例7】设数列na和nb均为等差数列，且112225,75,100,abab那么数列nnab的第100项为_______.【例8】已知数列na对于任意的pqN、满足2,6pqpqaaaa且，则10____.a强化训练：必修五数学专题-6-1、如果等差数列na中，34512712,___.aaaaaa那么2、已知na为等差数列，13524620105,99,__.aaaaaaa则3、在等差数列na中，35267,6,____.aaaa则4、已知方程22(2)(2)0xxmxxn的四个根组成一个首项为14的等差数列，则____.mn5、若)32lg(),12lg(,2lgxx成等差数列，则x的值等于（）A．1B．0或32C．32D．5log26、成等差数列的4个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数.7、设xy，数列12,,,xaay与数列123,,,,xbbby都是等差数列，则2121_____.aabb8、如果1238,,,,aaaa组成各项均大于零的等差数列，且公差0d，则（）A.1845aaaaB.1845aaaaC.1845aaaaD.1845aaaa9、在-1和7之间顺次插入3个数ab、、c，使这5个数成等差数列，则这个数列为______.10、在等差数列2,5,8，…，3n-1中，每相邻两数间插入3个数，构成的新数列仍为等差数列，问：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？（2）新数列的第29项是原数列的第几项？必修五数学专题-7-第三讲：等差数列（二）知识要点：一、数列前n项和nS：（1）数列na的前n项和nS=1231,nnaaaaanN；（2）数列na的通项与前n项和nS的关系：11,1.,2nnnSnaSSn二、等差数列前n项和nS：设等差数列na的首项为1,a公差为d，则前n项和111=.22nnnaannSnad三、等差数列的和的性质：（1）等差数列na中，连续m项的和仍组成等差数列，即12122,,mmmmaaaaaa21223mmmaaa,仍为等差数列（即232,,,mmmmmSSSSS成等差数列）；（2）等差数列na的前n项和2111==,222nnnddSnadnan当0d时，nS可看作关于n的二次函数，且不含常数项；（3）若等差数列na共有2n+1（奇数）项，则11==,nSnSSaSn奇奇偶偶中间项且若等差数列na共有2n（偶数）项，则1==.nnSaSSndSa偶奇偶奇且四、等差数列前n项和nS的最值问题：设等差数列na的首项为1,a公差为d，则（1）100ad且（即首正递减）时，nS有最大值且nS的最大值为所有非负数项之和；（2）100ad且（即首负递增）时，nS有最小值且nS的最小值为所有非正数项之和.必修五数学专题-8-典型例题：【例1】等差数列na的前n项和为nS,已知：102030,50.aa（1）求通项na;（2）若nS=242，求n.【例2】（10年辽宁卷14题）设nS是等差数列na的前n项和，若363,24SS,则9__.a【例3】（09年全国卷14题）设等差数列na的前n项和为nS，若924972,___.Saaa则【例4】等差数列{}na,{}nb的前n项和分别为nS,nT,若231nnSnTn,则nnab=（）A．23B．2131nnC．2131nnD．2134nn【例5】等差数列na的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为________.【例6】已知数列na的前n项和23205=,22nSnn则数列na的通项公式为________.【例7】设等差数列na共有奇数项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则该数列共有多少项？中间项为_____.【例8】等差数列na中，117925,,aSS问数列前多少项之和最大?，求此最大项.必修五数学专题-9-强化训练：1、已知等差数列na中，271224,aaa求13S.2、等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于()A．160B．180C．200D．2203、已知等差数列na中,35710133224,aaaaa那么数列na的前13项和13=_____.S4、等差数列na的公差1,2d且100145S,则13599____.aaaa5、{an}为等差数列，a10＝33，a2＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则S20－2S10等于()A．40B．200C．400D．206、等差数列na中，1462,aSS且那么当nS取最小值时，n=_______.7、等差数列na中，19120,aSS,该数列前多少项的和最小？8、若等差数列na的前n项和,nSm前m项和,mSn则前n+m项的和___.nmS9、设等差数列na的前n项和为,nS若1020SS,则30____.S10、数列na是等差数列，150,0.6,ad（1）从第几项开始有0na；（2）求此数列前n项和的最大值.必修五数学专题-10-第四讲：等比数列（一）知识要点：一、等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（0q）.即1nnaqqa为非零常数，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.二、等比数列的通项公式：设等比数列na的首项