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8.2空间几何体的表面积与体积知识梳理-2-知识梳理双基自测23411.多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是,表面积是侧面积与底面面积之和.所有侧面的面积之和知识梳理-3-知识梳理双基自测23412.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧=S圆锥侧=S圆台侧=2πrlπrlπ(r1+r2)l知识梳理-4-知识梳理双基自测23413.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V=台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下V=13(S上+S下+S上S下)h球S=V=Sh13Sh4πR243πR3知识梳理-5-知识梳理双基自测23414.常用结论(1)与体积有关的几个结论①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.(2)几个与球切、接有关的常用结论①正方体的棱长为a,球的半径为R,③正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.a.若球为正方体的外接球,则2R=3a;b.若球为正方体的内切球,则2R=a;c.若球与正方体的各棱相切,则2R=2a.②若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=𝑎2+𝑏2+𝑐2.知识梳理2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“×”.(1)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的侧面积是2πS.()(2)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为3πa2.()(4)在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=120°,使△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9π.()(3)若一个球的体积为43π,则它的表面积为12π.()(5)将圆心角为2π3,面积为3π的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的表面积等于4π.()答案答案关闭(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√知识梳理-7-知识梳理双基自测234152.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.πB.3π4C.π2D.π4答案解析解析关闭由题意可知球心即为圆柱体的中心,画出圆柱的轴截面如图所示,则AC=1,AB=12,底面圆的半径r=BC=32,所以圆柱的体积是V=πr2h=π×322×1=3π4,故选B.答案解析关闭B知识梳理-8-知识梳理双基自测234153.(教材习题改编P29TB1)若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是.答案解析解析关闭由三视图可知,该几何体由一个正四棱柱和一个底面为梯形的四棱柱组成,其表面积S=3×4×2+2×2×2+4×22×2+4×6+12×(2+6)×2×2=72+162.答案解析关闭72+162知识梳理-9-知识梳理双基自测234154.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.答案解析解析关闭设正方体的棱长为a,外接球的半径为R,则2R=3a.∵正方体的表面积为18,∴6a2=18.∴a=3,R=32.∴该球的体积为V=43πR3=4π3×278=9π2.答案解析关闭9π2知识梳理-10-知识梳理双基自测234155.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,AC=4,BC=CC1=3.P是BC1上一动点,若一小虫沿其表面从点A1经过点P爬行到点C,则其爬行路程的最小值为.答案解析解析关闭由题意知,把面BB1C1C沿BB1展开与面AA1B1B在一个平面上,如图所示,连接A1C即可,则A1,P,C三点共线时,CP+PA1最小,∵∠ACB=90°,AC=4,BC=C1C=3,∴A1B1=AB=42+32=5,∴A1C1=5+3=8,∴A1C=82+32=73.故CP+PA1的最小值为73.答案解析关闭73-11-考点1考点2考点3考点1空间几何体的表面积例1(2018福建龙岩质检)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.3π+8B.2π+8C.2π+4+42D.3π+4+42思考求几何体的表面积的关键是什么?答案解析解析关闭由三视图可知,该几何体是一个组合体,左边是一个半球,球的半径为1,右边是一个三棱柱,三棱柱底面是斜边长为2的等腰直角三角形,高为2,组合体的表面由球面积的一半、圆面积、棱柱的侧面积组成,表面积为12×4π×12+π×12+(22+2)×2=3π+4+42,故选D.答案解析关闭D-12-考点1考点2考点3解题心得1.几何体表面积的求法(1)多面体:其表面积是各个面的面积之和.(2)旋转体:其表面积等于侧面面积与底面面积的和.求旋转体的侧面积一般要进行转化,即将侧面展开化为平面图形来解决(化曲为直),因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.(3)简单组合体,应搞清各构成部分,并注意重合部分的处理.(4)若以三视图的形式给出,则解题的关键是对给出的三视图进行分析,从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系,得到几何体的直观图,然后根据条件求解.-13-考点1考点2考点32.球的表面积的求法求球的表面积,关键是求球的半径.一般地,求球的半径,要学会作球的一个截面图(纬圆),利用球的半径R、截面圆的半径r、球心到截面的距离d构建直角三角形,把空间问题转化为平面问题,利用勾股定理解决,即R2=r2+d2.-14-考点1考点2考点3对点训练1如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是则它的表面积是()A.17πB.18πC.20πD.28π28π3,答案解析解析关闭由三视图可知该几何体是球截去18后所得几何体,则78×4π3×R3=28π3,解得R=2,所以它的表面积为78×4πR2+34×πR2=14π+3π=17π.答案解析关闭A-15-考点1考点2考点3考点2空间几何体的体积例2在梯形ABCD中,∠ABC=π2,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.2π3B.4π3C.5π3D.2π思考求旋转体的体积的关键是什么?答案解析解析关闭由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥.V圆柱=π×12×2=2π,V圆锥=13×π×12×1=π3.∴V几何体=V圆柱-V圆锥=2π-π3=5π3.答案解析关闭C-16-考点1考点2考点3解题心得1.求旋转体体积的关键是理解所得旋转体的几何特征,确定得到计算体积所需要的几何量.2.计算柱、锥、台的体积的关键是根据条件找出相应的底面积和高.3.注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化法等,它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法,应熟练掌握.-17-考点1考点2考点3对点训练2(2018湖南、江西十四校联考)已知一个棱长为2cm的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A.83cm3B.4cm3C.203cm3D.163cm3答案解析解析关闭由三视图得原几何体如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,由平面AB1D1、平面CB1D1截得的几何体,它的体积为一个正方体的体积减去两个底面为等腰直角三角形的三棱锥的体积,即V=23-2×13Sh=8-2×13×2×22×2=163(cm3).答案解析关闭D-18-考点1考点2考点3考点3与球有关的切、接问题例3(1)若体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12πB.323πC.8πD.4π-19-考点1考点2考点3(2)四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上,该四棱锥的三视图如图所示,E,F分别是棱AB,CD的中点,直线EF被球面所截得的线段长为2,则该球的表面积为()A.9πB.3πC.2πD.12π22-20-考点1考点2考点3𝑆1𝑆2=.(3)若一个正四面体的表面积为S1,其内切球的表面积为S2,则思考解决与球有关的切、接问题的关键是什么?答案:(1)A(2)D(3)63π解析:(1)设正方体的棱长为a,由a3=8,得a=2.由题意可知,正方体的体对角线为球的直径,故2r=3𝑎2,则r=3.所以该球的表面积为4π×(3)2=12π,故选A.-21-考点1考点2考点3(2)该几何体的直观图如图所示,该几何体可看作由正方体截得,则正方体外接球的直径即为PC.由直线EF被球面所截得的线段长为22,可知正方形ABCD对角线AC的长为22,可得a=2,在△PAC中,PC=22+(22)2=23,球的半径R=3,所以S表=4πR2=4π×(3)2=12π.-22-考点1考点2考点3(3)设正四面体的棱长为a,则正四面体的表面积为S1=4·34·a2=3a2,其内切球半径为正四面体高的14,即r=14·63a=612a,因此内切球表面积为S2=4πr2=π𝑎26,则𝑆1𝑆2=3𝑎2π6𝑎2=63π.解题心得解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观察、分析,弄清相关元素的关系和数量关系,选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系),达到空间问题平面化的目的.-23-考点1考点2考点3对点训练3(1)已知三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上,且侧棱AA1⊥平面ABC,若AB=AC=3,∠BAC=,AA1=8,则球的表面积为()A.36πB.64πC.100πD.104π2π3C-24-考点1考点2考点3(2)(2018福建厦门质检)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积是()A.8πB.9πC.16π3D.28π3A(3)已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上,且AB=3,BC=,过点D作DE垂直于平面ABCD,交球O于E,则棱锥E-ABCD的体积为.323-25-考点1考点2考点3解析:(1)∵AB=AC=3,∠BAC=2π3,∴BC=9+9-2×3×3×-12=33,∴△ABC的外接圆直径2r=3332=6,∴r=3,∵AA1⊥平面ABC,AA1=8,∴该三棱柱的外接球的半径R=42+32=5,∴该三棱柱的外接球的表面积为S=4πR2=4π×52=100π.故选C.-26-考点1考点2考点3(2)由三视图画出如图所示的直观图.如图①所示.该几何体是直三棱柱ABC-A'B'C',其中AC⊥BC,AC=BC=,AA'=2,四边形ABB'A'是正方形,则将该直三棱柱补全成长方体,如图②所示.图①图②2该长方体的体对角线长为22+(2)2+(2)2=22,则其外接球的半径为2,该几何体外接球的表面积是4π×(2)2=8π,故选A.-27-考点1考点2考点3(3)如图所示.由题意易知BE过球心O,则DE=42-32-(3)2=2,所以VE-ABCD=13×3×3×2=23.