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第八章二元一次方程组导入新课讲授新课当堂练习课堂小结8.3实际问题与二元一次方程组第1课时利用二元一次方程组解决实际问题学习目标1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.（重点）2.学会利用二元一次方程组解决几何、行程问题.（重点、难点）导入新课视频引入思考：视频中的问题你知道怎么解吗？问题引入养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18到20kg，每只小牛1天约需饲料7到8kg.你认为李大叔估计的准确吗？讲授新课列方程组解决简单实际问题一合作与交流问题1题中有哪些未知量，你如何设未知数？未知量:每头大牛1天需用的饲料;每头小牛1天需用的饲料.问题2题中有哪些等量关系？(1)30只大牛和15只小牛一天需用饲料为675kg;(2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用饲料为940kg.设未知数：设每头大牛和每头小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg，解:设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg，根据等量关系，列方程组：答:每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲养员李大叔估计每天大牛需用饲料18到20千克，每头小牛一天需用7到8千克与计算有一定的出入.+=675,+=940.30x15y42x20y解方程组：x=,y=.205剧情发展：随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请甲乙两种饲养员各多少人？解：设李大叔应聘请甲种饲养员x人，乙种饲养员y人，则：+=42,+=20.8x5y4x2y解得：x=4y=2答：李大叔应聘请甲种饲养员4人，乙种饲养员2人.典例精析例1某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场，平几场？分析：题中的未知量有胜的场数和平的场数，等量关系有：胜的场数+平的场数=11；胜场得分+平场得分=27.胜场平场合计场数得分x3xyy1127解：设市第二中学足球队胜x场，平y场.依题意可得______27_______11_______yx解得：8y3xy3答：该市第二中学足球队胜8场，平3场.x通过上述两题，总结用二元一次方程组解决实际问题的步骤解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：(1)审题：弄清题意和题目中的_________；(2)设元：用___________表示题目中的未知数；(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值；(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.总结归纳数量关系字母2代入消元加减消元法练一练1：某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费.甲说：“我乘这种出租车走了11km，付了17元.”乙说：“我乘这种出租车走了23km，付了35元.”请你算一算：出租车的起步价是多少元？超过3km后，每千米的车费是多少元？分析本问题涉及的等量关系有：总车费=0～3km的车费(起步价)+超过3km的车费.解设出租车的起步价是x元,超过3km后每千米收费y元.+113=17+233=35.xyxy(),()--根据等量关系,得解这个方程组，得=5=1.5.xy,答：这种出租车的起步价是5元，超过3km后每千米收费1.5元.起步价超过3km后的费用合计费用甲乙xx（11-3）y（23-3）y1735练一练2：今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？牛五、羊二牛二、羊五5头牛、2只羊共价值10两“金”；2头牛、5只羊共价值8两“金”.问每头牛、每只羊各价值多少“金”？解:设每头牛值“金”x两,每只羊值“金”y两,由题意,得5x+2y=10,2x+5y=8.解得x=y={21342120答:羊值“金”两,牛值“金”两.21342120据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？请提取数学信息列方程组解决几何问题二转换成数学语言：ADCB已知：长方形ABCD，AB=CD=200m，AD=BC=100m，长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1:2.目标：甲、乙两种作物的总产量的比是3:4这里研究的实际上是什么问题.把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？01竖着画，把长分成两段，则宽不变02横着画，把宽分成两段，则长不变长方形的面积分割我们可以画出示意图来帮助分析试着画一画01竖着画，把长分成两段，则宽不变ADCFBE1.大长方形的长=200m2.甲、乙两种作物总产量比=3:4等量关系式有几个？01竖着画，把长分成两段，则宽不变ADCFBE1.大长方形的长=200m2.甲、乙两种作物总产量比=3:4设AE＝xm，BE＝ym.先求出两种作物的面积SAEFD=100xSEFCB=100y再写出两种作物的总产量甲：100x×1乙：100y×2则列方程为100x:200y=3:4总产量=？1:2xy200m100如何设未知数呢？则列方程为x+y=200单位面积产量×面积01竖着画，把长分成两段，则宽不变ADCFBE根据题意列方程组为100x:200y=3:4xy200m100mx+y=200解得x=120y=80你觉得该如何答题比较完整呢？甲种作物乙种作物解：过点E作EF⊥AB，交CD于点F.设AE＝xm，BE＝ym.答：将这块土地分为长120m,宽100m和长100m,宽80m的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.02横着画，把宽分成两段，则长不变ADCBExyFx+y=100乙种作物甲种作物解：过点E作EF⊥AD，交BC于点F.设DE＝xm，AE＝ym.200x:400y=3:4200y200xx=60y=40解得根据题意列方程组为200m100m答：将这块土地分为长200m,宽60m和长200m,宽40m的两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.练一练：8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?（单位cm）60x+y=60x=3y解:设小长方形地砖的长为x,宽为y,由题意,得解此方程组得：x=45,y=15.答:小长方形地砖的长为45cm,宽为15cm.列方程组解决行程问题三小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路，一段为下坡路.平路：60m/min走平路的时间+走下坡路的时间=________，走上坡路的时间+走平路的时间=_______．路程=平均速度×时间1015方法一（直接设元法）平路时间坡路时间总时间上学放学解：设小华家到学校平路长xm，下坡路长ym.60x60x80y40y1015根据题意，可列方程组：10608015.6040xyxy解方程组，得300400xy所以，小明家到学校的距离为700m.方法二（间接设元法）平路距离坡路距离上学放学解：设小华下坡路所花时间为xmin,上坡路所花时间为ymin.60(10)x80x40y根据题意，可列方程组：60(10)60(15)8040xyxy解方程组，得510xy所以，小明家到学校的距离为700m.故平路距离：60×（10-5）=300（m）坡路距离：80×5=400（m）60(15)y例2甲、乙两人相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？典例精析分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系.（1）同时出发，同向而行甲出发点乙出发点4km甲追上乙乙2h行程甲2h行程甲2h行程=4km+乙2h行程（2）同时出发，相向而行甲出发点乙出发点4km相遇地甲0.5h行程乙0.5h行程甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km解：设甲、乙的速度分别为xkm/h,ykm/h.根据题意，得2240.50.54.xyxy，解方程组，得53.xy，答：甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h.练一练：我国的长江由西至东奔腾不息，其中九江至南京约有450千米的路程，某船从九江出发9个小时就能到达南京；返回时则用多了1个小时.求此船在静水中的速度以及长江水的平均流速.解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，长江水的平均流速为y千米/时.45010)(4509)(yxyx即5.25.47yx解得答：轮船在静水中的速度为47.5千米/时，长江水的平均流速为2.5千米/时.1.计划若干节车皮装运一批货物.如果每节装15.5吨，则有4吨装不下，如果每节装16.5吨，则还可多装8吨.问有多少节车皮？多少吨货物？解：设有x节车皮，y吨货物，根据题意列出方程组得y=15.5x+4，y=16.5x-8（以下部分由同学们完成）当堂练习2.某班有40名同学看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票每张8元.请问甲种和乙种票各多少张？37081040yxyxyx则张张，乙种票解：设甲种票解得2515.xy，答：甲种票25张，乙种票15张.3.课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样的一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各多少只？944235.yxyxyx则只只，兔有解：设鸡有解得2312.xy，答：鸡有23只，兔有12只.4.有甲、乙两数，甲数的3倍与乙数的2倍之和等于47，甲数的5倍比乙数的6倍小1，这两个数分别是多少？1-654723.yxyxyx则，乙数是解：设甲数是解得1017.2xy，答：甲数为10，乙数为.1725.甲、乙两店共有练习本200本，某月甲店售出19本，乙店售出97本后，甲、乙两店所剩的练习本数目相等，则甲店和乙店原有练习本各多少？9791-200yxyxyx则本。本，乙店原有练习本解：设甲店原有练习本解得61139.xy，答：甲店原有练习本61本，乙店原有练习本139本.6.某船顺流航行36km用3h，逆流航行24km用3h，则水流速度和船在静水中的速度各是多少？24-3363h/kmh/kmyxyxyx则，水流速度是度是解：设船在静水中的速解得102.xy，答：船在静水中的速度为10km/h，水流速度为2km/h.隔壁听到人分银，不知人数不知银。每人五两多六两，每人六两少五两。多少人数多少银？解：设有x个人，y两银，由题意得：5x+6=y6x-5=y7.古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古诗为证：解得：x=11y=61答：有11个人，61两银.8.甲、乙两人都从A地到B地，甲步行，乙骑自行车，如果甲先走6千米乙再动身，则乙走小时后恰好与甲同时到达B地；如果甲先走1小时，那么乙用小时可追上甲，求两人的速度．解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时,则336.4413x.22yxy34124,12.xy解得答：甲的速度为4千米/时，乙的速度为12千米/时.课堂小结二元一次方程组的应用应用